Tore und das Gesetz der kleinen Zahlen

Über die mathematische Modellierung des Fußballspiels

Die weltweite Informationsflut hat vor dem Sport nicht halt gemacht. Die Globalisierung des Sports, die weltweite Vernetzung der Welt und die Transformation von lokalen Fußballmannschaften in multinationale Firmen, erzeugt ein gestiegenes Interesse an der Statistik des Fußballs. Mathematiker und Physiker arbeiten an vorderster Front an der Lösung der Frage aller Fragen: Wer wird gewinnen?

Besonders eine Teilfrage hat zu langen Diskussionen geführt: Fallen Tore in einem Spiel mit der gleichen Häufigkeit pro Minute oder lässt sich ein auffälliger Unterschied zwischen Anfang und Ende des Spiels feststellen? Schießen die Mannschaften mehr Tore in der ersten oder in der zweiten Hälfte? Wenn eine Mannschaft zurückliegt, spielt sie dann besser?

Man redet eigentlich von der mathematischen Modellierung des Fußballspiels und davon, ob ein Spiel wie ein "Poisson-Prozess" zu verstehen ist oder nicht. Betrachten wir zuerst die verschiedenen wichtigen Indikatoren eines Spiels.

• Tore pro Spiel Man kann für die verschiedenen Ligen in Europa die Anzahl der Tore pro Spiel zählen. Im Jahr 2008/2009 gab es in der Bundesliga 2,92 Tore pro Spiel, während es in Spanien, den Niederlanden, Italien, England und Frankreich 2,90, 2,84, 2,60, 2,48 bzw. 2,25 waren (Daten aus soccer-europe.com). Als Durchschnitt der wichtigsten europäischen Ligen bekommen wir aus diesen Daten 2,7 Tore pro Spiel. Dazu kommt, dass bei 232 untersuchten Weltmeisterschaftspielen zwischen 1990 und 2002 2,5 Tore pro Spiel fielen. Das ist weniger als ein Tor alle 30 Minuten.
• Heimvorteil Den Heimvorteil einer Mannschaft kann man sehr direkt messen, und zwar indem die Anzahl der Tore als Gast oder als Gastgeber gezählt werden. In der englischen Premier League beträgt der Heimvorteil im Durchschnitt, 0,39 mehr Tore pro Spiel, als wenn die Mannschaft auswärts auftritt. Für Spanien wurde ein Heimvorteil äquivalent zu 0,37 Toren berechnet, während der Heimvorteil in Italien 0,4 Tore beträgt. Mit anderen Worten: Statt in München könnte man auf neutralem Boden spielen, dann erzielt die Mannschaft von Bayern München zusätzlich 0,4 Tore als Entschädigung für den entgangenen Heimvorteil.
• Tore pro Minute Es gibt in der Tat eine Asymmetrie im Fußball. Es fallen deutlich mehr Tore in der zweiten als in der ersten Hälfte des Spiels. Bei einer WM wartet man durchschnittlich 36 Minuten auf ein Tor. Daten aus der Saison 2007/08 zeigen, dass in der Premier League etwa 60% der Tore in der zweiten Hälfte und 40% in der ersten Hälfte fallen. Die 1.179 erzielten Tore in der Saison verteilten sich in Intervallen von 15 Minuten wie folgt: 150, 157, 168, 203, 179, 322. Man sieht: Am Anfang der zweiten Hälfte und in den letzten 15 Minuten fallen besonders viele Tore. Die Wahrscheinlichkeit eines Tores ist etwas Dynamisches.
• Mannschafts-Fitness Physiker haben errechnet, dass der beste Indikator der Fitness einer Mannschaft, die Tordifferenz im Laufe eines Turniers ist. Die Mannschaft mit der besseren Tordifferenz im Laufe eines Turniers hat deswegen bessere Chancen, das nächste Spiel zu gewinnen.

Das Gesetz der kleinen Zahlen

Wenn wir viele Exemplare eines möglichen Ereignisses haben, z.B. wie viele Personen jeden Tag an einem Bahnhof in Züge einsteigen, können wir mit einfachen Mittelwerten arbeiten. Wir verwenden implizit das sogenannte Gesetz der großen Zahlen und machen Annahmen über die Verteilung der zufälligen Ereignisse (wie die Anzahl der Passagiere pro Minute). Die Statistik verfügt über ein mächtiges Instrumentarium, um mit solchen Modellen zu arbeiten, nicht zuletzt dank der Arbeit von Carl Friedrich Gauß.

Es gibt andere Arten von stochastischen Prozessen, wo Ereignisse viel seltener eintreten. Ein Telefonanruf über eine bestimmte Leitung z.B. geschieht nur gelegentlich. Hier arbeiten Statistiker mit einer Modellierung, die dem französischen Mathematiker Siméon-Denis Poisson zu verdanken ist. Telefongesellschaften würden gerne die Belastung der Telefonleitungen im Voraus einschätzen wollen.

Daher spielt es eine Rolle, dass zu jedem gegebenen Zeitpunkt nur wenige Telefonbesitzer insgesamt einen Anruf starten. Deswegen bricht der Telefondienst bei Katastrophen zusammen, da das Telefonnetz nicht für solche übermäßigen Belastungen konzipiert ist. Die sogenannte Poisson-Verteilung, die seltene Ereignisse, wie einen Telefonanruf unter normalen Bedingungen, modelliert, wird deswegen manchmal Gesetz der kleinen Zahlen genannt (im Sinne von Ladislaus Bortkiewicz1).

Wollen wir aber über seltene Ereignisse reden - dann sind es genau die Tore bei einer Weltmeisterschaft. Die Wahrscheinlichkeit eines Tors in einer bestimmten Minute des Spiels ist ziemlich niedrig. Bei der letzten WM in Südafrika fielen nur noch 2,2 Tore pro Spiel. In der Tat, die Abwehr gewinnt heute eine WM.

Das war nicht immer so. Im Laufe der Zeit haben sich Weltmeisterschaften in Abwehrschlachten verwandelt. Die Spieler sind größer, athletischer, schneller, haben aber zunehmend Mühe, den Ball durch die Abwehr einzufädeln. Die Tabelle unten zeigt den Durchschnitt der Tore pro Spiel bei allen Weltmeisterschaften von Uruguay 1930 bis Südafrika 2010.

Wie die Tabelle demonstriert, fielen noch bis 1958 viele Tore pro Spiel. Es ist dies noch die Zeit der hybriden Mannschaften aus Profis und Amateurspielern. Seit 1970 sinkt bei jeder neuer WM langsam aber sicher die Anzahl der Tore pro Spiel. Wer das erste Tor schießt, verfügt sofort über einen bedeutenden Vorsprung. Bei der WM in Südafrika gewann in 44 von 48 Spielen die Mannschaft, die das erste Tor geschossen hat! Unentschieden haben wir ausgeklammert. Die Mannschaft, die das erste Tor schießt, gewinnt also in sage und schreibe 92% der Fälle. Nach dem ersten Tor kann man das Stadion beinahe ohne Schuldgefühle verlassen.

Die Abwehr ist deswegen gewichtiger bei einer WM als bei normalen Ligaspielen. Bei der Premier League z.B. gewinnt die Mannschaft, die das erste Tor schießt, in etwa zwei Drittel der Fälle und spielt in einem Fünftel unentschieden. Wer das erste Tor in England schießt, verliert das Spiel nur in 14% der Fälle.

Wo Poisson versagt

Ladislaus von Bortkiewicz ist durch die Analyse einer anderen Art von "Strampeln" auf die Poisson-Verteilung gelangt. Er wollte wissen, ob die Anzahl der in der preußischen Armee von Maultieren getretenen Soldaten einer gewissen statistischen Regularität unterlag. Die Annahme bei der Poisson-Verteilung ist, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, auch wenn es niedrig ist, mehr oder weniger konstant bei dem beobachteten Prozess bleibt.

Mit anderen Worten: Die Beobachtung eines Ereignisses soll nicht vom genauen Zeitpunkt und auch nicht von der Vorgeschichte des Prozesses abhängig sein. Die Tatsache, dass ich heute von einem Freund angerufen wurde, macht einen Anruf von meiner Mutter nicht wahrscheinlicher (bei einem willkürlichen Tag im Jahr, nicht beim Geburtstag). Deswegen haben Statistiker sehr genau auf die Verteilung der Tore bei einem Spiel geschaut.

Es stellt sich heraus, dass die Verteilung der Tore in einem Spiel nicht haargenau der Annahmen der Poisson-Verteilung folgt. Die Frequenz eines Tors ändert sich entlang der 90 Minuten. Abb. 1 zeigt wie die 144 Tore der WM-2010 sich auf die sechs Fünfzehn-Minuten-Intervalle während eines Spiels verteilen. Die ersten fünfzehn Minuten dienen dem gegenseitigen Kennenlernen. Der Spiel wird intensiver von Minute 30 an, lässt aber wieder zu Beginn der zweiten Hälfte nach. In den letzten 30 Minuten, aber insbesondere in den letzten 15 Minuten, fallen die meisten Tore. Die Spieler geben ihre letzten Reserven aus und treffen öfter.

Siméon-Denis Poisson wäre nicht gänzlich zufrieden, wenn er wüsste, dass die Verteilung, die seinen Namen trägt, nicht einwandfrei auf Fußball anwendbar ist. Man muss noch die WM 2014 abwarten, um zu wissen ob die Tendenz der letzten WMs sich fortsetzt und die Anzahl der Tore pro Spiel weiter sinkt. Es könnte so weit kommen, dass Spiele nur noch auf ein "goldenes Tor" gespielt werden.

Eine gewagte Vorhersage

Man kann die Granularität der Betrachtung auf ganze Spiele reduzieren und nur die durchschnittliche Anzahl der Tore pro Spiel betrachten, wie dies Metin Tolan macht.2 In der Bundesliga fielen im Durchschnitt drei Tore pro Spiel bis zur Saison 2005/06. Modelliert man die Anzahl der Tore pro Spiel mit einer Poisson-Verteilung, ergibt sich der Verlauf der roten Säulen in Abb. 2. Die blauen Säulen stellen die empirischen Daten für die Bundesliga dar. Die Übereinstimmung der empirischen Kurve mit der Poisson-Verteilung ist auffallend.

Allerdings hat Metin Tolan daraus eine Simulation der WM 2014 abgeleitet, die jenseits von Gut und Böse ist. Er hat für jedes Team bei der WM-2014 die mittlere Anzahl der Tore bei der Qualifikation für die WM 2014 zusammengetragen. Dann geht er davon aus, dass bei jedem Spiel bei der WM 2014 jedes Team Tore schießt - mit einer Poisson-Verteilung mit dem Erwartungswert der mittleren Toranzahl wie bei der Qualifikation. Es ist dann unerheblich, ob Deutschland gegen Brasilien oder Spanien antritt: Jedes Team schießt Tore wie bei der Qualifikation gegen die Färöer Inseln bzw. die französische Guyana.

Kein Wunder, dass bei Tolans Simulation Deutschland die WM haushoch gewinnt. Deutschland hat nämlich bei der Qualifikation 3,6 Tore pro Spiel geschossen. Befremdlicher ist, dass Spanien (1,8 Tore pro Spiel bei der Qualifikation) nur eine Wahrscheinlichkeit unter 1% hat, die WM zu gewinnen, während Argentinien (2,1 Tore pro Spiel bei der Qualifikation) ganze 2,2% Chancen zugerechnet werden. In Tolans Simulation haben Bosnien-Herzegowina und Ghana bessere Chancen, die WM zu gewinnen, als die Brasilianer, die Gastgeber!

Man kann also die Poisson-Verteilung lieben, aber man kann nicht davon abstrahieren, dass Spiele zwischen Mannschaften ausgetragen werden. Was zählt, ist die relative Stärke der WM-Teams, nicht die absolute Anzahl der Tore bei der Qualifikation. So bleibt Tolans Simulation der WM 2014 eher ein Kuriosum, obwohl er Glück damit haben könnte, da er auf den Sieg der deutschen Mannschaft, einen der Favoriten, tippt. Ob der Rest der Simulation Sinn macht, wird nach der WM keiner mehr fragen.