Seite 2: Ein Blick auf die SARS-CoV-2-Epidemie in Deutschland

Im Bild 3 habe ich für sie nochmals die Daten zum Epidemie Verlauf in Deutschland dargestellt. Die Entwicklung des P-Wertes wurde zum einen für eine Zeitachse mit Tag 1 am 27. Januar (A) und zum anderen mit einem Tag 1 am 15. Februar, also fast drei Wochen später, ermittelt (dazu im Anhang [1]). Die dadurch bedingte Verschiebung des P-Wert-Verlaufes ist deutlich aber nicht gravierend; die Lage des Punktes P = 1 verschiebt sich um nur 4 Tage nach vorn.

Ich orientiere mich am 27.01.20 als Tag 1. Etwa 90 Tage nach Ausbruch wurde in Deutschland, als Folge der politischen Maßnahmen der Zustand P = 1 erreicht. Je nach verwendeten Daten für die Fallzahlentwicklung liegt das Datum etwa zwischen dem 19. Und 23. April. Den Tag haben die Deutschen jedenfalls versäumt.

Der Verlauf des P-Wertes im Monats März liefert ein Indiz für die Wirksamkeit der politischen Maßnahmen zur Minimierung der Übertragungsmöglichkeiten des Virus: Der P-Wert beginnt auf hohem Niveau nach dem 15. März zu fallen. Zum Zeitpunkt der Verkündung des sogenannten Shutdown für alle Bundesländer am 23. März, beträgt sein Wert noch P ≈ 8. Ab dem 29. März verstärkt sich die fallende Tendenz für die Infektionsrate. Es wird noch bis zum 23. April dauern, bevor der Zustand P = 1 erreicht wird. Da wurde die Zurücknahme von Maßnahmen schon seit drei Wochen ungeduldig gefordert (der amtliche R-Wert war ja kleiner Eins!).

Ich habe bisher kein aussagekräftigeres Indiz für die Wirksamkeit der Maßnahmen gesehen. Ein Indiz ist kein Beweis! Ein Beweis ist unmöglich, da es glücklicher Weise das Vergleichsexperiment - Alles Laufen lassen - nicht gibt. Der Verlauf des R/7-Wertes (hier anhand der Daten der Berliner Morgenpost, geglättet) liefert im Übrigen kein Indiz dafür, dass der Shutdown unnötig gewesen sei.

Warum es einem Mathematikprofessor anhand des Mitte April erstmals veröffentlichtem amtlichen R-Wert-Verlaufs wichtiger war, eine nicht beweisbare These medienwirksam in die Welt zu setzen, als sich zu fragen, auf welche Art Zahl er sich stützt, habe ich nicht verstanden und werde ich nicht verstehen. Die Gegenargumente waren allerdings auch nicht viel besser.

Nachdem Ende Mai/Anfang Juni der P-Wert schon einmal bis auf unter 0,3 abgefallen war, sorgten einzelne lokale Hotspots wieder für einen Anstieg. Seit Mitte Juli steigt der P-Wert für Deutschland unterhalb P = 1 bislang kontinuierlich wieder an. Verschiedentlich wurde schon der Beginn einer "zweiten Welle" ausgerufen, das war zumindest bis Anfang August unzulässig. Dass eine solche zweite Welle nicht ausgeschlossen werden kann, steht auf einem anderen Blatt. Unser Verhalten entscheidet, ob Virus-Übertragungen minimiert werden.

Bei etwa 1750 Neuinfektionen und steigend, wird wohl der P-Wert die Eins überschreiten. Gegenwärtig ist der Anstieg der Infektionsrate aber wesentlich geringer als Anfang bis reichlich Mitte März. Ich bezeichne P = 1 auch nicht als kritischen Zustand, oder kritische Zahl. Was ist kritisch daran, dass ein Infizierter nur einen weiteren infiziert?

Mit Bild 4 möchte ich Ihnen noch zeigen, dass die zeitliche Änderung des P-Wertes - wie es sein muss - qualitativ dem Verlauf der Entwicklung der Neuinfektionszahlen entspricht: Der P-Wert bildet Änderungen der Neuinfektionszahlen als Anstieg, als Exponent, für den Infektionszahlverlauf ab. Und er bringt eine wesentliche Eigenschaft mit: Im Punkte P = 1 trifft er auf den (unbekannten) zeitlichen Verlauf der epidemiologisch definierten Reproduktionszahl, die in diesem Punkte, an diesem Tage, ebenfalls den Wert ℛ = 1 annehmen sollte (siehe dazu auch im folgenden Abschnitt).

Mit Blick auf Bild 2 fällt auf, dass eine maximale Infektionsrate für SARS-CoV-2 weitgehend unabhängig von der Weltregion bei einem P-Wert der Größenordnung P ≈ 10 erreicht wird und für etwa 2 Wochen auf diesem Niveau bleibt (die Ergebnisse "Welt" sind wahrscheinlich durch Unterschiede des Infektionsbeginns in den Ländern der Welt gedehnt). Dieser Befund wäre noch zu verifizieren. Dies und eine Interpretation möchte ich dem Fachpersonal im Spitzensport überlassen.

Tabula rasa R-Werte

Meine Großmutter war eine lebenskluge Frau, sie ermahnte mich aber auch, öfter mal aufzuräumen. Von Ihr konnte man Sätze hören, wie: Wer genauer hinschaut, sieht mehr. Sie sagte mir aber auch: Junge - Wenn du gegen den Strom schwimmst ersäufst du! Und was mache ich hier? Genauer hinschauen.

Meine Hypothesen: Für mich ist es Zeit, reinen Tisch zu machen, zumindest für mich und für meinen Tisch. Dazu werde ich zunächst drei Hypothesen aufschreiben.

Hypothese 1: Wenn die Infektionsrate den Wert P = 1 annimmt, dann ist auch die epidemiologisch definierte Infektionszahl ℛ = 1.

Ich kann diesen Satz nicht widerlegen, vielleicht will ich das auch gar nicht. Ich kann diese Hypothese aber auch nicht beweisen, den mein mir logisch erscheinender Schluss von weiter oben lasse ich selbst als Beweis nicht durchgehen. Und auch ich besitze kein Messgerät zur Bestimmung von Reproduktionszahlen. Und eines, zusammen geschraubt aus R-Werten, würde ich nicht benutzen.

Hypothese 2: Eine Reproduktionszahl mit dem Wert ℛ = 1 bedeutet Konstanz der Zahl an Neuinfektionen, was zu einer Linearität im Anstieg der Infektionszahl führte; der Umkehrschluss ist nicht zulässig.

Hypothese 3: In einem epidemischen Verlauf nimmt die Reproduktionszahl nur einmal den Wert ℛ = 1 an (ohne "zweite Welle").

Bezüglich dieser dritten Hypothese schweifen meine Gedanken zum 12. Mai und dem R_A/7-Wert (siehe im Anhang unter [3.5]), von dem es hieß, dieser habe bis zu seiner Veröffentlichung Mitte Mai, nachdem er einmal kleiner Eins wurde, diesen Wert nie mehr überschritten (Pressebriefing). Das war nicht von einem Journalisten ausgedacht, sondern eine amtliche Feststellung; und sie können sicher sein, dass amtliche Feststellungen wohl überlegt getroffen werden. Ich rede hier nicht von Versprechern, die jedem passieren können. Natürlich wird dadurch meine dritte Hypothese nicht bewiesen, ich führe dies nur als Indiz an.

Zu Hypothese 3 kann ein Epidemiologe sofort eine Aussage treffen; ich kenne keinen persönlich, und jene, die ich versuchte zu erreichen, hatten Wichtigeres zu tun. Sie ahnen, dass einem Gymnastiker der Zutritt zum Spitzensport verwehrt ist.

Ich hätte anstelle dreier Hypothesen auch schreiben können: Die für den kinetischen Parameter P für P = 1 genannten Merkmale treffen auch auf die Reproduktionszahl ℛ im Punkte ℛ = 1 zu. Mit den drei Hypothesen geben ich Gelegenheit, meine Gedanken Punkt für Punkt zu widerlegen.

Die amtlichen R_A-Werte: Ich beziehe mich hier vornehmlich auf die Amtlichen R-Werte, denen ich den Index A zuordne, um sie aus der Gruppe verschiedenster R-Werte herAuszuheben.

Die amtlichen Rechenvorschriften zur Ermittlung von R_A/4 und R_A/7 [3.5] und die gewählten Wenn-Dann-Aussagen bilden eine in sich widerspruchsfreie Einheit; so dachte ich jedenfalls bis vor Kurzem. Insbesondere eine Aussage hat mir unverständlicher Weise zu schaffen gemacht: "Wenn R = 1, dann konstante Anzahl täglicher Neuinfektionen". Dies ist die verkürzte Definition für die Reproduktionszahl ℛ = 1 [3.2].

Diese Wenn-Dann-Aussagen müssen sie nun leider im Teil 2 nachlesen, denn die Web-Seite wurde am 13.08. geändert und diese Aussagen sind verschwunden!

Nehmen wir an, Hypothese 2 wäre falsch. Dann führte jeder lineare Abschnitt Y(x) = k + F x, der Infektionszahl, wenn er denn länger als 8 Tage (R_A/4), bzw. länger als 10 Tage (R_A/7) andauerte, zu Werten R_A = 1. Das könnte wiederholt oder gar nicht passieren. So wäre ein Ergebnis für den R_A-Wert von Eins purer Zufall, denn ich wäre überrascht, gebe es eine epidemiologische Gesetzmäßigkeit nach der ein Anstieg Y(x) = k + F x mit k ≠ 0, mit Notwendigkeit im Verlaufe der Infektionszahlentwicklung auftreten muss.

Und wegen der 8 oder 10 Tage, müsste unbedingt gewährleitet sein, dass diese Linearität über einen längeren Zeitabschnitt anhielte. Den Tag, an dem P = 1 zu wird, und damit, nach Hypothese 1, auch ℛ = 1, können die R_A-Werte nicht detektieren, also: Der Zustand, der (vermutlich) einer Reproduktionszahl von ℛ = 1 entspricht, würde verloren gehen, was ja auch geschah.

Wenn ich einmal voraussetzte, dass ich mit meinen Hypothesen nicht grundsätzlich falsch liege, dann ist P = 1 = ℛ ein Kriterium zur Validierung von R-Werten R = 1. Und nun werden sie auch verstehen, auf welch dünnes Eis ich mich begebe. Denn dieses Kriterium wird nicht nur von den amtlichen R_A-Werten nicht erfüllt, sondern auch von anderen R-Werten nicht, die zum Teil mit anspruchsvollen wissenschaftlich mathematischen Modellen berechnet werden [3.4]. Sie sollten also unbedingt bemüht sein, meine Hypothesen zu widerlegen. Dazu braucht es mehr als eine Meinung, ein Beweis ist erforderlich.

Wanderung über die Bergkuppe: Jetzt müssen wir aber noch auf den Zeitabschnitt genauer schauen, in dem der amtliche R_A-Wert für Deutschland erstmals zu Eins wurde. Ich benutze dafür die Zahlen, die ich im gesamten Artikel benutze; sie können gern die amtlichen Zahlen aus der täglich aktualisierten EXEL-Tabelle nutzen, die sie hier herunterladen können.

Das Maximum der Häufigkeitsverteilung der Neuinfektionen tritt am Tag 65 (31.03.20) auf (vergl. Im Bild 4; ich schaue auf die Zahlen in meiner Tabellenkalkulation). Der R_A/7-Wert, den ich über dem letzten Tag des 10 Tageintervalls auftrage, amtlich wird der neunte Tag verwendet, wird von Tag 69 zu Tag 70 (4./5. April) kleiner als Eins, also recht genau 5 Tage nach dem Maximum, oder ziemlich genau im Maximum (vergleiche dazu hier, Fig. 8), wenn ich den R_A/7-Wert über dem fünften oder sechsten Tag auftrüge, was man wohl normaler Weise tun würde. Aber amtlicherseits meinte man, über dem Tag aufzutragen, an dem alle Informationen vorlägen.

Im Bild 5 habe ich für sie die Entwicklung der Zahlen für Neuinfektionen und den Verlauf der Infektionszahl für einen Zeitausschnitt dargestellt, in dem die Häufigkeitsverteilung der Neuinfektionen ihr Maximums überschreitet. Leider kann ich bei bestem Willen für die Zahl der Neuinfektionen keine "konstante Anzahl" attestieren. Eine solche war aber als Merkmal für R_A = 1 angegeben worden. Die Wenn-Dann-Aussage lautete: "Wenn R = 1, dann konstante Anzahl täglicher Neuinfektionen". R_A = 1 wird aber fast punktgenau für den Gipfel berechnet, was nicht einer Konstanz der Neuinfektionszahlen, sondern dem Umstand nahezu symmetrischer Verteilung dieser Zahlen am Maximum geschuldet ist.

Das Ergebnis R_A = 1 ist durch das Kraxeln zweier gekoppelter 4-Tage, oder 7-Tage Abschnitte über die Berggipfel verursacht, ein purer mathematischer Effekt. Das Ergebnis hat gar nichts mit der Reproduktionszahl ℛ = 1 zu tun. Der Berggipfel taucht in der Kurve der Infektionszahlentwicklung nicht mit einem Anstieg von Eins auf.

Der annähernd lineare Verlauf der Infektionszahl in diesem Zeitabschnitt resultiert wohl daraus, dass die Zahlen für Neuinfektionen um eine Größenordnung kleiner sind, als die aufsummierte Infektionszahl. Dies kann ich als Indiz für meine Hypothese werten, dass aus einem linearen Anstieg nicht zwangsläufig auf ℛ = 1 geschlossen werden kann.

R_A-Werte als kinetische Parameter: Für mich deutet bisher alles darauf hin, dass R_A-Werte keine Reproduktionszahlen sind. Bild 5 werte ich als Beweis. Selbst wenn die vorgenannten Hypothesen widerlegt würden, bliebe Bild 5. Aber schauen wir weiter genauer hin:

Eingangs des Artikels hatte ich, möglicher Weise für den einen oder anderen ungewöhnlich, die Zahl der Neuinfektionen pro Einwohner und Zeit als kinetische Größe deklariert, ganz der Physikerin Angela Merkel folgend; dass sie in ihrer Person auch Kanzlerin ist, nehme ich als Faktum. Wenn ich hiervon ausgehe, dann sind auch die R_A-Werte kinetische Parameter, denn diese (und nur diese) werden als Quotienten zweier gemittelter kinetischer Parameter berechnet.

Und da nun auf meinem reinen Tisch keine R_A-Werte als Reproduktionszahlen mehr herumliegen, macht es mir erstens nichts mehr aus, dass die beiden kinetischen Parameter R_A-Wert und P-Wert nicht zu gleicher Zeit den Wert Eins annehmen, warum sollten sie das tun, sie sind ja ganz unterschiedlich definiert. Und zweitens kann ich nun ganz entspannt mit dem kinetischen Parameter R_A-Wert rechnen. Nie wäre ich auf den Gedanken gekommen, mit Reproduktionszahlen ℛ zu rechnen! Letzteres gehört in die Hände der Profis! Bitte: Wenn sie kein Spitzensportler sind, rechnen sie nicht mit ℛ-Werten.

Habe ich also mit R_A-Werten gerechnet und stelle Ihnen die Ergebnisse im Bild 6 dar. Die Berechnungen für die Werte der Häufigkeitsverteilung und der Infektionszahlentwicklung wurden für einem Zeitabschnitt durchgeführt, in dem die RA-Werte, dargestellt in den Bildern 3 und 4, mehr oder weniger um einen konstanten Wert oszillierten. Die Berechnung wurde so angelegt, dass aus den Ergebnissen für die Neuinfektionszahlen ein konstanter R_A-Wert von R_A = 0,8295 resultiert. Dies ist der aus den R_A/4-Werten im Bild 5 für diesen Zeitabschnitt berechnetem Mittelwert (für die Mittelwertbildung wurden Werte R_A ≥ 1 nicht als nicht der Stichprobe zugehörig betrachtet).

Ich werde nicht erfahren, wie sie das Ergebnis meiner Rechnung im Vergleich zur "Originalkurve" bewerten. Für mich zeigen die berechneten Werte befriedigende Übereinstimmung mit den Originaldaten. Normaler Weise freut man sich ein wenig über solch Ergebnis.

Deshalb werden nun einige sehr enttäuscht sein, wenn ich ihnen sage, dass die befriedigende Übereinstimmung ein Beweis dafür ist, dass die R_A-Werte keine Reproduktionszahlen sind.

Für die Berechnung verwende ich das Tool Zielwertsuche meines Tabellenkalkulationsprogramms. Dies sagt mir, ich müsse die tägliche Zahl (!) aus der Vortagszahl multipliziert mit einem konstanten Faktor (auch das ist keine Reproduktionszahl) von konstant 0,9543 (gerundet) berechnen.

Ein Epidemiologe wird ihnen hierzu sicher sagen, das sei ja eine hübsche mathematische Spielerei, aber keine der dafür verwendeten Zahlen könne eine Reproduktionszahl sein. Er würde ihnen damit meine Sicht auf das Ergebnis mitteilen. Das beweist natürlich noch nichts. Ich sehe dies als logischen Schluss, dem ich in diesem Falle Beweiskraft zugestehe.

Diejenigen, die schon immer alles besser wussten (Hat er die Zahl der Tests erwähnt?), und wissen, und wissen werden, können nun sagen: Aber das ist doch trivial: Er nimmt ein mathematisches Ergebnis, das er für eine Kurve berechnet hat, steckt das in eine andere Rechnung zur Bestimmung eben dieser Kurve und freut sich, dass sein Rechenergebnis der ursprünglichen Kurve weitgehend entspricht. Da hätten sie dieses Mal auch mitgelesen und mitgedacht, prima. Und schon haben sie "bewiesen", dass da nicht mit Reproduktionszahlen gerechnet wird.

Ich sagte wiederholt, dass ich keine Epidemiologie betreibe, bitte dies nicht vergessen und etwa denken, das wäre eine Rechnung zur Infektionsausbreitung gewesen. Die Hobbyepidemiologen, die ja keine Erfindung eines Wissenschaftsjournalisten sind, sollten solch Rechnung nicht als Ausweis dafür nutzen, sie könnten nun auch die Infektionsausbreitung berechnen, ich müsste mich davon distanzieren, und mache das vorsorglich.