Falsch.
Auch nach der mRNA-Impfung werden IgA und IgG gebildet.
Allerdings ausschliesslich als Anti-S, also gegen das Spikeprotein in der Variante ("Wuhan") der Impfung.
Bei einer realen Infektion werden weitere Antikörper gegen Hüllproteine usw. gebildet.
Allerdings:
Bei Infektion wie Impfung zu SARS-Cov-2 gehen die Antikörperpegel schnell wieder runter, ein negativer Test bedeutet also nicht, niemals Virus- oder Impfstoffkontakt gehabt zu haben.
Es bleibt eine aufwändige Untersuchung der Reaktivität der T-Zellen. Sowas wird aber nicht im normalen klinischen Alltag, sondern zu Forschungszwecken usw. durchgeführt. Wenn überhaupt.