Einsteins kosmologische Konstante

Seit Einsteins Vorschlag streiten sich die Theoretiker über ihre wahre Bedeutung

Vor hundert Jahren veröffentlichte Albert Einstein seine fundamental neue Gravitationstheorie allerdings unter der Bezeichnung "Allgemeine Relativitätstheorie". Das Neue dieser Theorie im Vergleich mit Newton war, dass die Bewegung von sich anziehenden Massen als ungestörte Inertialbewegung im gekrümmten Raum beschrieben werden konnte.

Die übliche Visualisierung der einsteinschen Theorie ist in Abb. 1 wiedergegeben. Das Raumzeitgewebe um die Erde krümmt sich durch die Gravitation, so dass z.B. ein Ball, welcher anfänglich in diesem Gravitationsfeld geradeaus "abrollt", sofort abgelenkt wird. Statt wie bei Newton eine Fernwirkung zwischen Massen zu postulieren, wird gegenseitige Anziehung als ungestörte Bewegung in einem lokalen Raum verstanden, der jetzt einer gewissen Krümmung unterliegt. Beispielsweise beugen sich Lichtstrahlen, die keine Ruhemasse besitzen, der Krümmung des Raumes folgend. Das ist in der klassischen Theorie nicht so ohne Weiteres verständlich.

Allerdings war Einstein über die kosmologischen Konsequenzen der neuen Theorie besorgt. Es reiche nicht, wenn man erklären könne, wie Raum und Zeit sich in der Umgebung von Himmelskörpern verhalten. Man müsse auch an die Unendlichkeit des Raumes denken und sich die Grenzbedingungen vorstellen. Eine Welt, in der nur die Anziehung der Gravitation am Werk ist, kann nicht statisch sein und läuft Gefahr in sich zu kollabieren. Einstein dachte jedoch, das Universum bestünde seit ewigen Zeiten und würde für immer existieren.

Im Jahr 1917 veröffentlichte Einstein die Arbeit "Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie". Dort bespricht er zunächst die Newtonsche Theorie, um dann zur eigenen überzugehen. Wir können hier die Einstein-Gleichung nicht im Detail begründen, aber für unsere Zwecke reicht es zu wissen, dass diese die Form hat:

Geometrie der Raum-Zeit = Verteilung von Energie und Materie

Der Physiker John Wheeler hat die Einstein-Gleichung so beschrieben: "Der Raum sagt der Materie, wie diese sich zu bewegen hat, die Materie sagt dem Raum, wie sich dieser zu krümmen hat." Raum und Zeit sollte man also nicht von Materie und Energie getrennt denken.

Ausgehend von der Einsteinschen Theorie hat der russische Physiker Alexander Friedmann 1922 die Expansion des Universums vorhergesagt. Die von Friedmann vorgeschlagene Lösung der Gravitationsgleichung (abgesehen von einigen Konstanten) hat die Form:

wobei H₀ die sogenannte "Hubble-Konstante" ist, die die Expansionsrate des Universums angibt (eigentlich ist H₀ nicht konstant, sondern ändert sich langsam). Ist die Krümmung des Raumes positiv, kann die rechte Seite der Gleichung mit der Zeit auf Null zurückgehen und das Universum fällt langfristig in sich zusammen. Um dies zu verhindern (und noch ohne die Friedmann-Gleichung zu kennen) fügte Einstein auf der linken Seite seiner Gleichung eine Konstante ein, die sogenannte kosmologische Konstant (Abb. 2). Diese erscheint dann auf der rechten Seite der Friedmann-Gleichung und gibt der Expansionsrate des Universums einen zusätzlichen positiven Schub. Die Konstante verhält sich wie eine Art "Antigravitation" und lässt das Universum expandieren. Einstein bezeichnete diese Konstante als λ (heute wird der entsprechende Großbuchstabe Λ verwendet):

Eigentlich erscheint in der Friedmann-Gleichung Λ/3, aber davon abstrahieren wir im Folgenden.

Geometrie und Energieseite

Man kann eine Konstante auf der linken oder rechten Seite (mit umgekehrten Vorzeichen) in einer Gleichung einbauen. Einsteins ursprüngliche Idee war aber, dass die kosmologische Konstante eine Eigenschaft des Raumes und somit auf der linken Seite, d.h. auf der Geometrie-Seite, seiner Gleichung einzufügen war (Abb. 2).

Heute allerdings wird die Konstante auf der rechten Seite geschrieben, wo sie jetzt eine Interpretation als zusätzlicher Energieterm gewinnt. Das ist die mysteriöse "dunkle Energie", die sogar gewogen werden kann, für die aber die Physiker keine allgemein akzeptierte Erklärung haben. Anders als eine Flüssigkeit wie Wasser, das ein Objekt nach innen presst, erzeugt die dunkle Energie "negativen Druck" und lässt den Raum noch mehr expandieren, wie es die Friedmann-Gleichung verlangt.

Die dunkle Energie ist deswegen so mysteriös, weil sie eine konstante Dichte hat. Wenn der Raum expandiert, verdünnt sich die mittlere Dichte der üblichen Energie und Materie im Universum. Die Anzahl der Himmelskörper ändert sich nicht, verteilt sich aber auf ein größeres Volumen. Merkwürdigerweise bleibt die Dichte bei der dunklen Energie konstant. Deswegen ist vorgeschlagen worden, die dunkle Energie als Energie des Vakuums zu interpretieren, aber die entsprechenden Berechnungen verfehlen noch das Ziel um eine gigantische Größenordnung.

Einstein und die Erzeugung von Materie

Im Jahr 1931 kannte Einstein bereits die Lösungen von Friedmann und Lemaitre (einem belgischen Physiker, der nach Friedmann das expandierende Universum in den Gleichungen wiederentdeckte), konnte sich aber mit der Idee eines immer dünner werdenden Universums weiterhin nicht so richtig anfreunden. Deswegen untersuchte er in seinem Notizbuch einen möglichen Ausweg, um das Universum trotz Expansion immer noch statistisch unverändert zu behalten.

Die Idee war, dunkle Energie gegen Elementarteilchen auszutauschen. Da der Raum immer größer wird und da dunkle Energie immer mehr und mehr Platz einnimmt, könnte man einfach postulieren, dass Elementarteilchen aus dieser Energie spontan erzeugt werden könnten. Die neuen Elementarteilchen füllen dann den vorhandenen Raum mit neuer Materie und verhindern so, dass diese durch die Expansion des Universums verdünnt. Viel weiter brachte Einstein seine Überlegungen im Notizbuch nicht, da ein Rechenfehler ihn zum Abbruch der Denkübung brachte. Später hat Einstein nichts darüber publiziert.

Die Idee von Einstein hat viele Jahre danach auch der Astronom Fred Hoyle gehabt. Er war mit einem einmaligen Schöpfungsakt des Universums nicht zufrieden und wollte das "perfekte" kosmologische Prinzip in Aktion sehen. Das kosmologische Prinzip besagt, dass keine Position und Richtung im Raum speziell ist, d.h. der Raum ist isotrop und homogen. Aber für die Zeit gilt das nicht, wenn es einen Schöpfungsakt gibt, da es dann einen Anfang der Zeit gibt hinter dem wir uns notwendigerweise befinden.

Wenn aber das Universum, statistisch gesehen, im Prinzip immer gleich ausgesehen hat, dann brauchen wir immer neue Materie. Fred Hoyle akzeptierte, dass der Raum expandiert, wollte diesen aber wie Einstein 1931 ständig neu mit Materie ausfüllen. Es musste auch nicht sehr viel sein, nur "drei Wasserstoffatome pro Kubikmeter in einer Million Jahren" wären notwendig, um das Universum statistisch unverändert aufrechtzuerhalten.

Zufälligerweise war auch Fred Hoyle derjenige, der dem "Big Bang" seinen Namen gab. Die Bezeichnung war eigentlich satirisch gemeint. Sein dynamisch stabiles Universum begriff Hoyle als eleganter als eine Welt, die aus einem Urknall entstanden war und die uns in eine spezielle Zeit im Leben des Universums versetzt. Die Benennung "Urknall" war böse gewählt, war aber so prägnant, dass sie sich eingebürgert hat.

Das Universum wiegen

Nun stoßen die Astronomen auf ein großes Problem, wenn die Friedmann-Lösung überprüft wird. Die Expansionsrate des Universums kann mit Teleskopen gemessen werden (der Wert von H₀) und die Energiedichte wird durch diverse Mittel abgeschätzt. Die gemessenen Werte passen aber nicht zusammen. Es fehlt Materie und Energie im Universum, um den Wert von H₀ zu erklären!

Die Messungen der Astronomen zeigen, dass unser Universum im Großmaßstab flach ist, d.h. zwei parallel ausgesandte Lichtstrahlen behalten ihren Abstand bis ins Unendliche. Einstein dachte am Anfang, dass das Universum als Ganzes eine positive Krümmung haben sollte, wie der Raum in der Nähe der Sonne oder der Erde. Nur allmählich konnte er sich mit einem flachen (euklidischen) Universum anfreunden (mit Krümmung null), was auch die Friedmann-Gleichung vereinfacht:

War es Einsteins ursprüngliche Motivation, mit der kosmologischen Konstante eine Gegenkraft gegen den Gravitationskollaps des Universums einzuführen, war diese nicht mehr notwendig, als die astronomischen Beobachtungen zeigten, dass das Universum doch expandiert. Einstein verwarf dann die kosmologische Konstante und bezeichnete sie fortan als die "größte Eselei meines Lebens" (so die Legende). Die Messungen zeigten, dass das Universum in Zukunft nicht kollabieren wird, auch wenn die Expansionsrate sich ständig verlangsamen kann.

Will man die heutige Expansionsrate des Universums erklären, kann man aber die kosmologische Konstante nicht außer Acht lassen. Ist das Universum flach, ist die Hubble-Konstante für ein ewig expandierendes Universum durch eine "kritische Energiedichte" gegeben:

Die vorhandene Masse im Universum reicht dafür nicht aus, so dass die Physiker heute die kritische Energiedichte mit dunkler Materie plus eine positive kosmologische Konstante ergänzen. Es stellt sich heraus, dass baryonische (übliche) Materie nur etwa 5% der kritischen Energiedichte darstellt. Das heutige Λ-CDM-Modell (Λ-Cold Dark Matter) besteht aus Materie und Photonen, dunkler Materie und einer kosmologischer Konstante:

Darauf sind die Astronomen gekommen, weil sie das Universum "wiegen" und die überall vorhandene Masse in die Berechnung eintragen. Dafür werden weiträumige Galaxienkataloge erstellt und deren Masse anhand deren Helligkeit und Abstand zum Sonnensystem geschätzt, wie z.B. im Rahmen des "2DF-Survey" geschehen (Abb. 3). Es wird damit bestätigt, dass die sichtbare Masse der Sterne nicht ausreicht, um die Hubble-Expansionsrate zu erklären (Marc Davis, "Cosmology: Weighing the Universe", Nature 2001).

Nicht nur die Sterne werden gewogen. Auch die Massen der Materiewolken im interstellaren Raum können durch die Ausstrahlung von Röntgenstrahlen geschätzt werden, um einen vollständigen Katalog der baryonischen Materie im Universum zu erhalten.

Was bedeutet die kosmologische Konstante?

Seit Einstein die kosmologische Konstante vorschlug, streiten sich die Theoretiker über ihre wahre Bedeutung. Einige sehen in der Konstante eine mögliche Korrektur der Gravitationstheorie, die durch andere mathematische Mittel erreicht werden könnte. So schlug Hugo von Seeliger für die Newtonsche Gravitationstheorie eine mögliche Abnahme der Gravitationskraft mit einem Faktor größer als der quadratische Abstand vor, die sich nur bei interstellaren Anziehungskräften bemerkbar machen würde (Cormac O’Raifeartaigh, Michael O’Keeffe, Werner Nahm, Simon Mitton: "One Hundred Years of the Cosmological Constant: from 'Superfluous Stunt' to Dark Energy").

Einstein selbst bereitete die Konstante wahres Kopfzerbrechen. Seine ganze Gravitationstheorie basierte, so dachte er, auf "Machs Prinzip", wonach erst das Vorhandensein von Materie und Energie Raum und Zeit entstehen ließe. Man kann aber ein Universum postulieren, in dem die kosmologische Konstante die gesamte kritische Dichte beiträgt, ein Universum mit Raum und Zeit aber völlig leer (ein solches "de-Sitter-Universum" war bereits 1917 von Willem de Sitter studiert worden). So ein Universum ist kompatibel mit Einsteins Gleichung, erfüllt aber nicht das Mach Prinzip. Deswegen hat Einstein Machs Prinzip letztendlich fallen lassen.

Die heute übliche Erklärung für die kosmologische Konstante ist, dass es eine unbekannte Energieform darstellt, die mit dem Vakuum assoziiert ist. In der heutigen Physik ist das Vakuum nicht einfach ein "Nichts", es ist eine Bühne mit Struktur, in der ständig virtuelle Teilchen entstehen und verschwinden und wo Felder untergebracht sind. Das Vakuum hat eine geometrische Struktur und, wenn das so ist, auch eine Energie, die per Kubikmeter konstant bleibt, auch wenn der Raum expandiert.

War diese Diskussion um die kosmologische Konstante eher rein akademisch, da es ja sein konnte, dass wir bis heute nicht alle Materie im Universum richtig gewogen haben (z.B. die schwarzen Löcher in Galaxien), erfuhr sie eine neue Dringlichkeit als in den neunziger Jahren bestätigt wurde, dass der Raum nicht nur expandiert sondern dass er heute sogar immer schneller expandiert (Abb. 4). Für diese Entdeckung erhielten 2011 Brian Schmidt, Saul Perlmutter, und Adam Riess den Physik-Nobelpreis.

Diese beschleunigte Expansion des Raumes kann nicht durch übliche bzw. dunkle Materie in der Friedmann-Gleichung erklärt werden, da deren Dichte sich immer weiter verdünnt. Nur die kosmologische Konstante bietet einen theoretischen Anker, um die beschleunigte Expansion zu begründen. Die kosmologische Konstante erzeugt einen negativen (expansiven) Druck, der immer weniger durch die Anziehung der Gravitation ausgeglichen wird.

In heutigen kosmologischen Modellen wird ein Energiedichte-Parameter Ω eingeführt, der gleich der Summe den Beitrag von Masse und dunkler Energie darstellt, also Ω=Ω_M+Ω_λ. Für ein euklidisches (flaches) Universum muss Ω=1 gelten, wobei der Beitrag von jeder Komponente variieren kann. Unterschiedliche kosmologische Modelle unterscheiden sich durch die Gewichtung von jedem Summanden. Heute wird angenommen, dass Ω_λ bis zu 70% der kritischen Energiedichte (d.h. der Energie im Universum) beiträgt.

Obwohl Einstein selbst irgendwann die kosmologische Konstante verwarf, hielten diverse Physiker wegen ihres Erklärungsgehalts an ihr fest. Die Friedmann-Gleichung beschreibt die Expansion des Universums, erklärt sie aber nicht. Die kosmologische Konstante könnte eine mögliche Begründung dafür liefern als ein "Etwas", welches den oben erwähnten negativen Druck erzeugt. Das war bereits in den dreißiger Jahren die Meinung z.B. von dem berühmten Astronomen Sir Arthur Eddington.

Heute ist die theoretische Deutung der kosmologischen Konstante bzw. dunkler Energie, eines der wichtigsten offenen Probleme der modernen Physik. Es könnte sein, dass eine zufriedenstellende Erklärung nur im Rahmen einer neuartigen Quantengravitation gefunden werden kann. Es bleibt also spannend und neue Resultate der Forschung sind sicherlich in wenigen Jahren zu erwarten. Noch vor zwanzig Jahren dachten viele Astronomen, dass es eine Frage der Zeit war bis die fehlende Masse im Universum gefunden werden könne (dass also Ω_M=1). Heute glaubt kaum noch jemand daran und die hundert Jahre alte kosmologische Konstante zu verstehen, ist dringender denn je.