Die Friedmann-Gleichung und das dynamische Universum

Heute findet man die Friedman-Gleichung in jedem Kosmologie-Lehrbuch. Sie ist der Ausgangspunkt für die Begründung eines dynamischen Universums. Wir zeigen hier, wie die Gleichung mit einem Minimum an Formeln verstanden werden kann.

Wir haben ein philosophisches Problem mit dem Universum. Die Gravitationskraft wirkt immer anziehend. Wenn wir mit einer beliebigen Massenverteilung anfangen, kollabieren auf Dauer alle Massen in unterschiedliche Klumpen und schließlich an einer einzigen Stelle.

Sogar perfekt um sich rotierende Massen verlieren über Gravitationswellen Energie und fallen spiralförmig ineinander. Mit dem universellen Kollaps wäre die Welt am Ende. Als einzige Rettung könnte der Schöpfer das unendliche Universum mit einer homogenen Massenverteilung ausstatten, so dass jede kleine Masse von allen Seiten dieselbe Anziehung erfährt und sich nicht von der Stelle rührt.

So eine Konfiguration ist jedoch nicht beständig. Sobald die kleinste Nicht-Homogenität entsteht, startet der Prozess der Verklumpung. D.h. ein gravitatorisch homogenes Universum ist instabil, das war bereits Sir Isaac Newton klar. Er sinnierte deswegen über einen regelmäßigen Eingriff Gottes, mit dem die Welt für eine Weile wieder ihrer eigenständigen Himmelsmechanik folgen könnte und so ad infinitum.

Einsteins Gravitationstheorie postuliert einige Gleichungen, die für eine gegebene Energieverteilung gelöst werden und uns Auskunft über die Geometrie des Raumes geben können. In Einsteins Theorie bewegen sich Massen frei entlang von Inertialbahnen, die durch die Geometrie des Raumes festgelegt werden. Gravitation ist keine Fernkraft sondern eine Verbiegung des Raumes.

Wäre die Welt zweidimensional und wie die Oberfläche einer Kugel, würden freie Massen entlang der Großkreise auf der Oberfläche der Kugel gleiten. Die Einstein-Gleichungen können für unterschiedliche Annahmen gelöst werden und ergeben die dazu passende Geometrie von Raum und Zeit. Bis heute hat die Gravitationstheorie Einsteins alle astronomischen Überprüfungen und Labor-Experimente bestanden und ist eines der Meisterwerke der modernen Physik.

Einer der ersten, der sich mit Lösungen der Einstein-Gleichungen beschäftigte war der russische Mathematiker Alexander Friedmann. Im Jahr 1922 leitete er aus den Tensorgleichungen von Einstein die Gleichung ab, die heute seinen Namen trägt. Friedmann untersuchte sowohl expandierende als auch kontrahierende Universen.

Seine Lösung schickte er an Einstein, der sie zwar als mathematisch interessant, aber ohne physikalische Bedeutung aufnahm. Es sollten noch Jahre vergehen, bis Einsteins die Realität des expandierenden Universums akzeptieren konnte. Vor allem überzeugten ihn die Resultate der astronomischen Messungen von Edwin Hubble.

Diese zeigten, dass ferne Sterne im Universum sich auseinander bewegen, und zwar so wie Friedmann es vorhergesagt hatte, mit einer Geschwindigkeit, die linear mit dem Abstand zu uns steigt. Noch auf dem Weg zum Amerikaner Hubble grübelte Einstein auf dem Atlantik-Schiff über andere Möglichkeiten ein stabiles nicht-expandierendes Universum mit seinen Gleichungen erklären zu können.

Einstein wollte aus der Theorie statische Beständigkeit ableiten, doch die Messungen zeigten anderes. Auch in der Physik fressen Revolutionen ihre Kinder - sie streben manchmal weiter als die Revolutionäre selbst.

Wie man ein dynamisch stabiles Universum erhält

Eine stabile Welt kann "entworfen" werden, wenn man das Universum als etwas Dynamisches begreift. Die große Leistung von Friedmann war es, bis zum Ende über die Konsequenzen der Einstein-Gleichungen nachgedacht zu haben. Aber die Grundidee kann sogar mit der Newtonschen Mechanik verstanden werden.

Wenn wir ein dynamisches Universum haben möchten, das nicht letzten Endes in sich zusammenbricht, können wir uns vorstellen, dass sich alle Massen voneinander entfernen. Noch mehr: Sie fliegen mit einer solchen Geschwindigkeit auseinander, dass die Abbremsung durch das Gravitationsfeld sie nie stoppen kann.

Wir könnten zuerst darüber nachdenken, was geschieht, wenn wir ein Zentrum der Welt auswählen und alle Massen von diesem Zentrum auseinanderfliegen lassen. Diese Lösung funktioniert aber nicht, da benachbarte Massen weit weg von diesem Zentrum in etwa parallel zueinander und gleich schnell fliegen (siehe Abb. 1, oben). Relativ zueinander sind diese Massen fast statisch, wie Passagiere in einem Zug, und die Gravitationskraft würde sie verklumpen.

Was wir brauchen ist eigentlich, dass alle Massen relativ auseinanderfliegen. Eine Lösung, die kein Zentrum des Universums voraussetzt besteht darin, den Raum selbst expandieren zu lassen. Es ist, wie wenn man eine Fotokopie um den Faktor zwei vergrößert: alle Pixel in der Abbildung bewegen sich um den Faktor zwei auseinander (die Fotokopie des Universums ist außerdem unendlich groß und hat weiterhin kein Zentrum).

Abb. 1 (unteres Diagramm) zeigt wie alle Gebiete des Raumes gleichmäßig expandieren und sich alles von allem anderen wegbewegt. Lebewesen im Zentrum der drei dargestellten Kreise (Abb. 1) würden beobachten, wie die Sterne von Ihnen wegfliegen. In Einsteins Theorie kann man einen solchen Zoom- bzw. Skalierungsfaktor a haben. Ein Abstand R zwischen zwei Objekten im Raum wird dann zu Ra, wenn der Skalierungsfaktor einbezogen wird.

Wenn wir nun eine kleine Probemasse in einem expandierenden Universum betrachten (Abb. 2), können wir einen beliebigen Punkt C mit Abstand Ra zu m nehmen und die Anziehung der Masse M in der Kugel um C mit Radius Ra (in grün) auf die Masse m berechnen. Die in der Kugel enthaltene Masse ist M = (4/3) π (Ra)³ρ, wobei ρ die mittlere Dichte der Materie im Universum darstellt. Man muss anmerken, dass die umliegende Masse (die blaue Kugelschale in Abb.2) keine Anziehung auf die Probemasse ausübt.

Innerhalb einer Kugelschale gleichen sich alle gravitatorischen Kräfte aus (das ist eine kleine Rechenübung für angehende Physiker). Die blaue Kugel können wir also beliebig auf den Rest des homogenen Universums erweitern (da das Universum keinen Rand hat) und deswegen brauchen wir uns nur mit der lokalen Anziehung der grünen Kugel zu beschäftigen. Der Faktor R ist beliebig, da die Argumentation für jede Stelle C im Universum gilt. Nur der Skalierungsfaktor a ändert sich mit der Zeit.

Wenn die Geschwindigkeit der Masse m die sogenannte Fluchtgeschwindigkeit erreicht, sind die kinetische Energie der Masse m und die Energie des Gravitationsfeldes ausgeglichen (in einem euklidischen Raum).1 Bei dem Ausgleich zu Null erhalten wir:

0 = -(4/3 πGρm (Ra)³/Ra) + (1/2 m(Rȧ)²)

Der erste Summand entspricht der negativen Energie der Gravitation für die Masse M und der zweite Summand entspricht der positiven kinetischen Energie. Das Gravitationsfeld ist immer negativ für anziehende Gravitation und deswegen ist die Energie der Gravitation auch negativ. G ist die Gravitationskonstante und mit ȧ bezeichnen wir die Änderung von a mit der Zeit (die Ableitung von a, d.h. die zeitliche Änderung des Skalierungfaktors).

Vereinfacht erhalten wir:

0 = - 4/3 πGρm (Ra)² + 1/2 m(Rȧ)²

Und nach Division durch mR² dann:

0 = - 4/3 πGρ a² + 1/2 ȧ²

Wenn wir dies für die Ableitung des Skalierungsfaktors lösen, erhalten wir:

(ȧ/a)² = 8/3 πGρ

Das ist die berühmte Friedman-Gleichung, oder besser gesagt, eine vereinfachte Version derselben, ohne die Krümmung des Raumes einzubauen. Wir setzen voraus, dass die Krümmung Null ist, d.h. der gesamte Raum ist euklidisch. Wenn man statt der Materiendichte ρ die Energiedichte ϵ einsetzt, muss man den Faktor c² einsetzen (da E = mc², so dass E = ρ/c²)und wir erhalten:

(ȧ/a)² = 8/3c² πGϵ

Es ist im Prinzip dieselbe Gleichung, aber wir können damit auch ein Universum betrachten, das z.B. nur Strahlung enthält. Dieselbe Formel kann aus Einsteins Theorie abgeleitet werden (für die Krümmung des Raumes Null). Der Quotient H = ȧ/a wird Hubble-Konstante genannt, obwohl das Verhältnis ȧ/a nicht zeitkonstant ist.

Da mit der Expansion des Universums die Energiedichte abfällt, wird ȧ/a immer kleiner, d.h. das Universum hört asymptotisch auf zu expandieren. Das ist der "Kältetod" des Universums, da die Energiedichte zu Null fällt. Der gegenwärtige Wert der Hubble-Konstante wird deswegen H₀ genannt.

Dynamic der Expansion

Man kann die zeitliche Entwicklung des Skalierungsfaktors erhalten, wenn man die obige Gleichung löst. Dafür muss man nur denken, dass Materie sich umgekehrt proportional zu a³ verdünnt, d.h.

ρ = ρ₀/a³

Wenn man dies in der Friedmann-Gleichung für Materie einsetzt, ist das Resultat

ȧ² = (8/3 πGρ₀) 1/a

Diese Gleichung kann mit

a = (t/t₀)^2/3

gelöst werden (kann man durch Einsetzen überprüfen), wobei t die Zeit darstellt und t₀ der Zeit bei Skalierungsfaktor 1 entspricht.2

Diese Gleichungen zeigen, dass die Änderung des Skalierungsfaktors sublinear ist. Für ein Universum mit nur Strahlung muss man zusätzlich den Druck der Strahlung berücksichtigen. Das machen wir hier nicht. Es ist nur wichtig zu wissen, dass der Skalierungsfaktor proportional zu t^1/2 wird, d.h. das Universum expandiert langsamer als wenn die Materie dominiert.

In der Geschichte des Universums gibt es eine Anfangsphase, bei der Strahlung und relativistische Teilchen (d.h. mit Geschwindigkeiten nicht so weit von der Lichtgeschwindigkeit) das Universum ausfüllen, und eine spätere Phase in der die Materie dominiert. Dazwischen gibt es Mischungen, so dass das Universum unterschiedliche Expansionsepochen aufweist.

Anisotropie der Hubble-Expansion

Die Ableitung der Friedmann-Gleichung oben macht die vereinfachende Annahme, dass das Universum vollkommen homogen und isotrop ist. Wir wissen durch die kosmische Hintergrundstrahlung, dass zumindest vor 13,4 Milliarden Jahren die Welt fast genau so uniform war.

In alle Richtungen sieht die Hintergrundstrahlung gleich aus, mit Unterschieden von einem Teil in 100.000. Später haben sich die Sterne und Galaxien geformt und es wäre dann zu fragen, ob die Annahme der Homogenität des Universums nicht zu unterschiedlichen Expansionsraten in unterschiedliche Richtungen des Universums führt.

Zuerst muss man mit einem Missverständnis ausräumen. Obwohl das Universum als Ganzes expandiert, da wo es viel Masse gibt (wie in unserem Sonnensystem), ist die Lösung der Gleichungen eine andere. In der Nähe der Sonne ist der Raum nicht euklidisch und ein Photon das vorbeifliegt wird abgelenkt. Die lokale Lösung der Einsteingleichungen ist nicht dieselbe wie die globale Lösung. Dazu kommt, dass die anderen Naturkräfte, insbesondere die elektromagnetischen, die Atome und Moleküle festhalten. Mein Holzlineal wird nicht länger, wenn das Universum expandiert.

Man hat also viele verschiedene "Patches", mit lokalen Geometrien, die zusammengenäht das Universum ergeben. Aber die kosmische Leere dominiert eindeutig! Die mittlere Dichte des Universums ist 30 Größenordnungen kleiner als die mittlere Dichte der Erde.

Im Großen und Ganzen befinden wir uns mitten im Nichts und die Friedmann-Gleichung ist eine gute Approximation für das gesamte Universum, aber nicht für unser Sonnensystem. Deswegen sagen einige Astronomen, der Kältetod des Universums sei längst eingetreten. Lokal sind wir quicklebendig, im großen Maßstab liegt jedoch die mittlere Temperatur nur ein paar Grad über dem absoluten Minimum.

Es könnte aber doch sein, dass dieses Zusammenschneidern von lokalen Regionen, mit der Zeit zu Unterschieden in der Größe des Skalierungfaktors, je nach Ausbreitungsrichtung, geführt hat. Das sind die sogenannten "Anisotropien des Hubble-Parameters", die sehr schwer zu messen sind. Man braucht Referenzpunkte und normalerweise nimmt man Supernovae als sogenannte Standardkerzen.

Es liegen aber nicht beliebig viele Daten vor, vor allem, wenn man alle Richtungen am Himmel voneinander getrennt verarbeiten will. Trotzdem haben einige Astronomen eine Schätzung gewagt und das Ergebnis ist, dass obwohl eine gewisse Anisotropie zu beobachten ist, diese noch nicht statistisch abgesichert werden kann. Der Hubble-Parameter scheint deswegen ziemlich homogen zu sein, mit Abweichungen unter 4%, je nach Richtung, in einem 95% Konfidenzintervall.3

Wieder die kosmologische Konstante

Wenn man, wie die moderne Physik, annimmt, dass das Vakuum nicht einfach ein Nichts ist, sondern etwas Strukturiertes, dann kann man auch an so etwas wie an die Energie des Vakuums denken. Die Friedmann-Gleichung bekommt eine Extra-Dichte, die energetische Dichte des Vakuums ϵ_Λ:

(ȧ/a)² = 8/3c² πG(ϵ + ϵ_Λ)

Wenn weder Materie noch Strahlung da sind (ϵ = 0), vereinfacht sich die Gleichung zu

(ȧ/a)² = λ

wobei λ eine skalierte kosmologische Konstante (bzw. dunkle Energie) ist. Diese Gleichung entspricht exponentiellem Wachstum in einem sogenanntem de-Sitter-Universum (a = e^√λ). Aus der Feststellung, dass das Universum heute beschleunigt expandiert, schließen die Physiker, dass die dunkle Energie die Oberhand über die Materie gewinnt.

Und aus dieser Beobachtung ergibt sich auch die Theorie des inflationären Universums, die in drei Schritten vorgeht und die Friedmann-Gleichung perfekt ausnutzt. Wenn man sich Abb. 2 anschaut, sollte es seltsam vorkommen, dass das Universum so fein abgestimmt ist.

Alle Massen besitzen eine positive kinetische Energie, die sich perfekt mit der negativen potentiellen Energie ausgleicht (zu Null addiert). Anders gesagt, wenn man augenblicklich alle existierenden Massen mit entsprechenden Geschwindigkeiten säen könnte, bräuchte man keine Energie auszugeben.

Man muss die Massen nur plötzlich an die richtige Stelle bringen. Das schafft die Theorie der Inflation, die eine kosmologische Konstante (eine Vakuumenergie) postuliert. Zuerst wird eine Art de-Sitter-Universum ultraschnell aufgebläht und gekühlt, dann zerfällt die kosmologische Konstante in übliche Energie (das nennt man "Wiedererhitzung" des Universums), und voilà, alles liegt an der richtigen Stelle und besitzt die notwendige positive kinetische Energie, die sich mit den negativen Gravitationsenergien ausgleicht.

Die drei Schritte der Inflationstheorie sind deswegen: a) de-Sitter-Universum mit positiver kosmologischer Konstante (das sogenannte skalare Inflaton-Feld), b) Stochastischer Zerfall des Inflationsfeldes in übliche Energie, c) Ende der Inflation und Wiedererhitzung. Klingt zunächst einmal etwas befremdend, kann man aber alles folgerichtig mit der Friedmann-Gleichung begründen (und mit dem Inflaton-Feld, die etwas wackligere Annahme).

Weltschmerz

Viele Zeitgenossen können sich mit der Theorie Einsteins bzw. mit der Expansion des Universums nicht arrangieren, weil es unserer Intuition so sehr widerspricht. Einstein selbst hat es am eigenen Leib erfahren. Seine erste Fassung der speziellen Relativitätstheorie wurde von der ETH Zürich als nicht ausreichend für eine Dissertation abgelehnt.

Als Einstein im Jahre 1922 den Nobelpreis erhielt, schwieg das Nobelkommittee über die Relativitätstheorie. Uhren, die aufgrund eines Gravitationsfeldes unterschiedlich laufen, scheinen etwas Sonderbares zu sein. Deswegen altern wir am Kopf schneller als an den Füßen, weil 1,8 Meter über dem Boden die Zeit langsamer als am Boden verläuft.

Am Rande eines Schwarzen Loches wäre der Effekt noch frappierender, wenn wir den Abstand halten könnten. Meine Großmutter, in der Intuition gefangen, würde sicherlich einwenden, sie ließe niemals zu, dass ihr Kopf schneller als ihre Füße altert.

Die Expansion des Universums entspricht einer Fluchtgeschwindigkeit von etwa 70 km/s pro Megaparsec Abstand von der Erde. Klingt viel, ist es aber nicht, zumindest im menschlichen Maßstab. Der aktuelle Hubble-Parameter dehnt einen Meter Weltraum um weniger als ein Tausendstel des Durchmessers eines Protons pro Jahr aus.

Die phantastischen Fluchtgeschwindigkeiten von entfernten Galaxien ergeben sich nur durch den enormen Abstand zwischen uns und solchen Himmelskörpern. Dazu kommt, dass, wie oben erläutert, unsere lokale Nachbarschaft sich nicht ausdehnt. Aber auch wenn sie sich ausdehnen würde, müssten wir 1000 Jahre leben, wie Methusalem, bevor wir um einen zusätzlichen Protondurchmesser hochgewachsen wären.

Im Teils autobiographischem Film "Annie Hall" von Woody Allen, will ein Kind seine Hausarbeiten nicht mehr schreiben. Auf Nachfrage des die Depression behandelnden Arztes, erklärt er: "Das Universum expandiert (...) eines Tages wird es auseinanderbrechen und das ist das Ende".

So weit ist es noch nicht, wir schreiten im Schneckentempo dahin. Kein Grund also für Weltschmerz oder Einstein-Hass im Forum.