Auf der Suche nach dem Superpartner

Stringtheorie für Einsteiger - Teil 2

Leider hatte die erste Version der Stringtheorie ihre hässliche Kehrseite dadurch noch nicht verloren: Einer rein bosonischen Stringtheorie fehlt nun einmal die Hälfte der Realität (vgl. Teil 1: Eine Welt aus Saiten). Und es kamen weitere Probleme hinzu: So sagt die bosonische Stringtheorie Teilchen voraus, die sich schneller als Licht bewegen (Tachyonen).

Das widerspricht zwar nicht direkt der Relativitätstheorie, denn diese sagt nur, dass zur Beschleunigung eines Teilchens auf Lichtgeschwindigkeit unendlich viel Energie nötig ist. Doch es bedingt, dass Teilchen mit imaginärer Masse existieren müssen. Imaginäre Zahlen kennen Sie aus der Gynmnasiums-Mathematik. Sie ergeben sich zum Beispiel als Quadratwurzeln negativer Zahlen. Physikalisch ergibt eine imaginäre Masse aber keinen Sinn. Physiker gehen deshalb davon aus, dass eine Theorie, die die Existenz von Tachyonen vorhersagt, intern fehlerhaft sein muss.

"Supersymmetrie"

Im Bereich der Teilchenphysik ergab sich Anfang der 1970er Jahre ein Ausweg: Dort fand ein Konzept Anklang, das den Namen "Supersymmetrie" erhielt. Demnach besitzen alle existierenden Teilchen einen so genannten Superpartner - jedes Fermion (halbzahliger Spin) hat ein Boson (ganzzahliger Spin) als Superpartner - und umgekehrt. Superpartner der Gluonen wären demnach die Gluinos, zum Higgs-Teilchen gehörte das Higgsino und zum Elektron das Selektron.

Physikalisch gesehen wirkt die Supersymmetrie sehr elegant: Während Bosonen dem Reich der Energie entstammen, sind Fermionen in der Welt der Masse zu Hause. Nachdem die Äquivalenz von Masse und Energie bewiesen ist, gäbe es der Familie der Elementarteilchen eine schöne Struktur, wäre jedes Fermion mit einem Boson verheiratet. Physiker lieben solche Bilder, obwohl es natürlich kein Naturgesetz gibt, das dem Universum Symmetrie zuschreibt. Tatsächlich lebt der Kosmos mit erstaunlichen Asymmetrien, etwa zwischen Materie (alles) und Antimaterie (nichts).

Leider zeigte sich bei der Durchforstung des aktuellen Elementarteilchen-Vorrats schnell, dass keine Superpartner darunter waren. Bis heute ist von diesen hypothetischen Teilchen im Experiment zwar keine Spur entdeckt worden (dafür genügt die Leistung unserer größten Teilchenbeschleuniger nicht), doch die Supersymmetrie erscheint trotzdem als vielversprechende Lösung.

Als sie in die Stringtheorie einzog, wurde diese zur Superstringtheorie. Einige Jahre hat man diesen Namen rege verwendet, doch heute spricht man wieder von der Stringtheorie. Alle aktuellen Stringtheorien sind supersymmetrisch. Die Entdeckung der Superpartner würde also dabei helfen, die Stringtheorien zu beweisen. Doch bis dahin dürften noch viele Jahre vergehen.

Eine Frage der Dimensionen

Schon beim Durchdenken der bosonischen Stringtheorie fiel den Forschern auf, dass diese nur in 26 Dimensionen mathematisch konsistent ist. Das rief zunächst große Skepsis hervor, weil zumindest in unserem Universum Raum und Zeit zusammen nur vier Dimensionen ergeben. Es gibt aber gute Argumente dafür, warum man zur Lösung vierdimensionaler Probleme manchmal weitere Dimensionen benötigt.

Stellen Sie sich eine flexible, weiche Schraubenfeder vor, die auf glattem Fußboden liegt. Zunächst liegt sie gerade, der Länge nach dort. Sie ziehen an einem oder beiden Enden. Es entsteht eine Schwingung, die Feder zieht sich periodisch zusammen. Diese Schwingung verläuft entlang der Zentralachse der Feder, in einer Dimension, nennen wir sie x. Um die Schwingung mathematisch zu beschreiben, brauchen Sie ebenfalls nur eine Raum-Dimension plus die Zeit: Der Schwingungszustand ist dann jeweils vom Ort x und der Zeit abhängig.

Nun biegen Sie die Feder, lassen sie aber auf dem Fußboden liegen. Erneut ziehen Sie daran. Die entstehende Schwingung erfolgt wieder entlang der Zentralachse. Doch da die Feder nun gebogen daliegt, brauchen Sie zur mathematischen Beschreibung eine zusätzliche Dimension y. Schließlich heben Sie die Feder hoch und verdrehen sie dabei ein bisschen. Zupfen bitte - und schon haben Sie ein eindimensionales Objekt, dessen Schwingungen Sie nur noch mit drei Raumdimensionen beschreiben können.

Diese Analogie hat allerdings die Physiker Mitte der 1970-er bis Anfang der 1980er Jahre nicht vollständig überzeugt. Die Stringtheorie, obwohl sie das Graviton vorhersagte und sich mit der Supersymmetrie verknüpfen ließ, galt damals wegen ihrer vielen Dimensionen als mathematisch nicht beherrschbar. Mit der Zeit stellten sich allerdings bei konkurrierenden Theorien wie der Quanten-Gravitation (der Anwendung der Quantenphysik auf das Gravitationsfeld) schwerwiegende Probleme heraus.

Besonders irritierend verhielten sich diese Theorien in den allerkleinsten Dimensionen. Wenn sich zwei Teilchen immer näher kommen, wächst die Anziehungskraft der Gravitation quadratisch, je geringer die Entfernung wird. Nahe Null wird das kritisch: Die Gravitation steigt ins Unendliche. Die Stringtheorie hat hier einen großen Vorteil: Da die Strings selbst eine (wenn auch sehr kleine) Mindestgröße besitzen, kann es nicht zu solchen unendlichen (und damit physikalisch unmöglichen) Werten kommen.

Das führte Mitte der 1980er Jahre schließlich zu einem Revival der String-Theorie. Bald hatten die Forscher nicht nur eine solche Theorie, sondern viele verschiedene - Typ I, Typ IIa, Typ IIb, Typ HO... genannt. Diese unterschieden sich vor allem durch die Arten darin möglicher Strings. Typ 1 erlaubte zum Beispiel sowohl offene als auch geschlossene Strings, Typ IIa geschlossene Strings mit symmetrischen Vibrationsmustern, Typ IIb geschlossene Strings mit asymmetrischen Vibrationsmustern und Typ HO so genannte heterotische Strings, bei denen die Bewegungsrichtung der Vibrationen entscheidend ist.

Obwohl die Superstringtheorien mit 10 Dimensionen auskamen, waren das noch immer einige zu viel. Den Physikern war lange nicht klar, was sie mit den zusätzlichen Dimensionen anfangen sollten, die das Universum ja offenbar irgendwie vor uns versteckt. Es gab aber bereits ein Vorbild, wie mit solchen Problemen umzugehen ist: Schon in den 1920-ern hatten Theodor Kaluza und Oskar Klein die später nach beiden benannte Kaluza-Klein-Theorie entwickelt, die Gravitation und Elektromagnetismus in fünf Dimensionen vereint. Die fünfte Dimension, so ein Vorschlag von Klein, sei in der Wirklichkeit unsichtbar, weil sie auf kleinste Ausmaße aufgerollt ist.

Vorstellbar ist das gut anhand eines Strohhalmes. Aus der Nähe handelt es sich dabei ganz klar um einen Zylinder mit zwei Dimensionen: Länge und Durchmesser. Wenn Sie den Strohhalm jedoch aus großer Entfernung beobachten, sieht er aus wie eine Linie, also eindimensional. Die zweite Dimension erscheint uns dann "aufgerollt". In der Realität müsste der Strohhalm dabei ungefähr den Durchmesser einer Planck-Länge haben, damit er von jeder neugierigen Beobachter als Linie erkannt wird.

Mathematisch ist das Aufrollen deutlich komplizierter als im Beispiel. Wir haben es ja auch gleich mit sechs überflüssigen Dimensionen zu tun. Dabei muss die Aufwickel-Methode, Kompaktifizierung genannt, auch noch sämtliche Eigenheiten der Stringtheorie erhalten, etwa die Supersymmetrie.

Als Mittel der Wahl dafür erwiesen sich Mitte der 1980er Jahre die Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten. Mannigfaltigkeiten sind spezielle Räume, die zwar lokal unserem gewohnten (euklidischen) Raum gleichen, aber insgesamt gesehen andere Eigenschaften haben (können).

Bestes Beispiel ist die Oberfläche der Erdkugel: Für einzelne Länder lassen sich 2D-Karten drucken. Wenn Sie den Rand einer Karte erreichen, geht diese nahtlos in die nächste Karte über, solange man beim Erstellen der Karte bestimmte Regeln beachtet. Aber wenn sie den gesamten Globus einmal umfahren, wird es Ihnen nicht gelingen, aus den dabei erstellten Karten eine nahtlose Figur der Erdkugel zu rekonstruieren. Ein anderes Beispiel für eine Mannigfaltigkeit wäre ein Donut: Zwei Linien, die für einen auf dem Donut lebenden Betrachter parallel erscheinen, sind global betrachtet nicht parallel.

Wir haben also örtlich die gewohnte Geometrie - insgesamt aber nicht. Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten entziehen sich leider der Vorstellungskraft, weil es sich um sechsdimensionale Gebilde handelt. Man kann von ihnen aber dreidimensionale Schnitte anfertigen (ein zweidimensionaler Schnitt eines 3D-Donut wäre ein Kreis), die für sich schon sehr beeindruckend aussehen und oft als Illustration für die Stringtheorie dienen müssen. Tatsächlich symbolisieren sie allenfalls das Verschwinden der zusätzlichen Dimensionen.

Wo die eine zusätzliche Dimension beim Strohhalm also als Kreis (Umfang des Strohhalms) kompaktifiziert wurde, benutzt man nun sechsdimensionale Modelle.

Praktischerweise kann man anhand der Eigenschaften der Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit wählen, welche Besonderheiten die daraus resultierende Physik haben soll. Ein 6D-Körper mit drei (mehrdimensionalen) Löchern lässt zum Beispiel drei Teilchenfamilien zu, einer mit fünf Löchern würde zu fünf Teilchenfamilien führen.

Was stellen wir mit den Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten nun an? Beginnen wir anschaulicher. Stellen Sie sich ein Schachfeld vor, mit richtigen Figuren. Das Spielfeld hat zwei Dimensionen, die Figuren erstrecken sich in die dritte Dimension. Nun nehmen wir alle Höhen (lassen aber Längen und Breiten unangetastet) und rollen diese nach einem festgelegten Verfahren zu einem winzigen Kreis zusammen.

Wir haben nun eine im Großen und Ganzen zweidimensionale Welt, an deren x-y-Koordinaten kleine, fast unsichtbare Kreise aufragen. Diese Kreise enthalten wichtige Informationen über unsere Welt, etwa den Typ der Schachfigur auf diesem Feld. In Wirklichkeit rollen wir aber nicht die dritte Raumdimension auf, sondern sechs zusätzliche Dimensionen. An jedem Punkt der Raumzeit befindet sich danach, bildlich gesprochen, eine 10^-34 Meter winzige Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit. Auf deren Oberfläche wiederum existieren die Strings. Sie sind klein genug, in allen zehn Dimensionen vibrieren zu können.

Es ist klar, dass sich die Eigenschaften und Vibrationsmodi der Strings ändern, wenn wir eine andere Struktur für die Kompaktifizierung verwenden.

Leider ist die Auswahl der zur Verfügung stehenden Calabi-Yau-Räume riesig, selbst wenn wir nur die Mannigfaltigkeiten mit drei Löchern aussuchen (denn es gibt ja nur drei Teilchenfamilien). Es existieren insgesamt 10⁵⁰⁰ Möglichkeiten (eine 1 mit 500 Nullen), die Stringtheorie zu kompaktifizieren, und es ist nicht absehbar, welche davon die richtige ist und ob es überhaupt die einzig richtige Variante gibt.

Zwei Theorien - ein Gedanke

Mit der Zeit zeigte sich, dass die unterschiedlichen Theorien gar nicht so verschieden waren. Die T-Dualität etwa lässt sich ebenso dafür nutzen, die Äquivalenz zweier Stringtheorien zu zeigen. So erwies sich, dass sich die Theorien von Typ IIa und IIb ebenso miteinander vereinen lassen wie die Typen HO und HE, zumindest für geschlossene Strings.

Es gibt aber noch ein weiteres Äquivalenz-Prinzip, zu dessen Erklärung ich etwas ausholen muss. Die Gleichungen der Stringtheorie, das können Sie sich bei zehn Dimensionen sicher vorstellen, sind äußerst kompliziert und derzeit nicht streng lösbar.

Die Forscher sind deshalb auf Näherungen angewiesen, die ihnen die Störungsrechnung liefert. Dabei nimmt man an (oder hofft, besser gesagt), dass sich die zu berechnende Größe durch eine Summe aus vielen Termen beschreiben lässt, etwa der Art Z=Z0*g¹+Z1*g²+Z2*g³+.... Dabei sind Z0, Z1, Z2 und so weiter zu bestimmende Parameter. g nennt sich Kopplungskonstante. Wenn g kleiner als 1 ist, werden die Zusatzterme immer kleiner, bis man irgendwann bei der weiteren Berechnung auf sie verzichten kann. Heureka! Die Näherungslösung ist damit gefunden.

Eine Theorie mit g < 1 nennt sich schwach gekoppelt. Ist g hingegen größer als 1, führt das Verfahren nicht ans Ziel, weil die Terme immer größer werden. Die Physiker sprechen dann von einer starken Kopplung. Wenn nun bei einer Theorie eine bestimmte Größe schwach gekoppelt ist, in einer anderen dieselbe Größe jedoch stark koppelt, dann lassen sich beide ineinander überführen. Man sagt auch, es besteht eine S-Dualität. Auf diese Weise konnten die Stringtheoretiker zeigen, dass Typ I und Typ HO äquivalent sind.

Von Saiten zu Membranen

Das blieb so bis zu einem Vortrag des Physikers Edward Witten auf der Strings'95-Konferenz an der University of Southern California (das Programm der Konferenz ist noch immer online). Am 14. März 1995, 9 Uhr lokaler Zeit, berichtete er unter der bescheidenen Überschrift "Ein paar Probleme schwacher und starker Kopplung", dass sich die fünf Stringtheorien und die Supergravitation unter dem Dach einer umfassenden, elfdimensionalen Theorie zusammenfassen lassen, "M-Theorie" genannt.

Über die Bedeutung des Namens lässt sich nur spekulieren, nach Wittens eigener Aussage hat sie mindestens zur Hälfte mit einem Konstrukt zu tun, das in ihr eine wesentliche Rolle spielt: der Membran. Um das Objekt von anderen Membranen abzugrenzen, wird es inzwischen meist "Bran" (Plural: Branen) genannt.

Witten zeigte damals, dass eine Vergrößerung der Kopplungskonstante in den Stringtheorien vom Typ IIa und HE eine interessante Wirkung hat: Es erscheint eine weitere Raumdimension, die vorher nicht bemerkt worden war. Aus dem IIa-String wird ein Torus, aus dem HE-String eine offene Membran. Mit diesen elf Dimensionen lässt sich dann auch noch die Supergravitation beschreiben.

Gleichzeitig bewies Witten, dass eine Membran, bei der man eine Dimension aufwickelt, sich genau wie ein String verhält. Die übergeordnete Theorie muss also die Stringtheorien enthalten. Die Theorie selbst entwickelte Edward Witten damals nicht. Sie ist bis heute nicht fertig. Er bewies lediglich, dass es die M-Theorie als Beschreibung unseres Universums geben könnte, dass sie die fünf Stringtheorien umfasst und dass sie bei niedrigen Energien als Näherung die Supergravitation ergibt.

Inzwischen sind die Physiker ein Stück weiter. Sie haben zumindest eine Idee darüber, was Branen sind und wie sie gemeinsam mit den noch immer existierenden Strings die Welt beschreiben. Branen haben demnach folgende Eigenschaften:

• Sie besitzen eine bestimmte Raum-Dimension, von 0 bis 9. Eine Bran der Dimension 0 heißt D0-Bran, eine dreidimensionale Bran D3-Bran.
• Sie können eine Ladung enthalten.
• Sie dehnen sich zusätzlich in die zeitliche Richtung aus.
• Sie haben eine Oberflächenspannung. Je stärker die Oberflächenspannung, desto weniger lassen sich Branen durch Interaktionen beeinflussen.

Eine Bran mit einer Dimension kennen Sie bereits - es handelt sich um einen String. Auch die D0-Bran hat einen eigenen Namen bekommen: Soliton (hat nichts mit der aus Star Trek bekannten Soliton-Welle zu tun).

Ursprünglich hatten die Stringtheoretiker sogar zwei verschiedene Arten von Branen auf dem Schirm: So genannte D-Branen erstrecken sich entweder unendlich in all ihre Dimensionen oder endlich. P-Branen hingegen können in einer Dimension endlich, in den anderen unendlich sein. Später zeigte sich, dass beide Arten äquivalent sind. Deshalb spricht man heute nur noch von Branen. Doch welche Funktion haben sie?

Zunächst einmal zeigte sich bei der genaueren Analyse der Stringtheorien, dass offene Strings ein Problem haben. Sie können ihre Enden nicht frei im Weltall herumhängen lassen. Mathematisch müssen Sie Randbedingungen genügen, die sich aus den zugrunde liegenden Differentialgleichungen ergeben, den Dirichlet-Randbedingungen. Sie können sich dadurch nur entlang bestimmter Ebenen im Universum bewegen. An diesen Ebenen haften sie mit ihren Enden.

Dabei können Sie entweder beide Enden an derselben Bran anheften oder aber auch zwei verschiedene Branen miteinander verbinden wie hier im Bild. Doch die Branen können sich auch selbst als Objekte im Weltall bewegen. Durch Ladung und Oberflächenspannung interagieren Sie mit anderen Branen. Wickeln sie sich fest um einen winzigen Raumabschnitt, können sie an dieser Stelle ein Teilchen erzeugen - das bleibt also nicht mehr nur den Strings (die ja D1-Branen sind) vorbehalten.

Das Universum als Bran

Während also die offenen Strings auf die Dimension der Bran beschränkt sind, an die sie sich geheftet haben, müssen geschlossene Strings keine solchen Begrenzungen einhalten. Sie können sich frei durch den elfdimensionalen Raum bewegen, den "Bulk". Die Forscher halten deshalb etwa die Gravitonen der Schwerkraft für heiße Kandidaten für geschlossene Strings. Der Bran-Mechanismus würde erklären, warum etwa die Gravitation sofort wirkt, während die Ausbreitung der anderen Naturkräfte auf die Lichtgeschwindigkeit begrenzt ist.

Das Graviton bewegt sich demnach außerhalb unserer drei Raumdimensionen. Die Entfernungen, die für uns gelten, interessieren es nicht. Die Photonen des Lichts hingegen müssen sich als von offenen Strings gebildete Teilchen entlang der Bran bewegen, an die sie gebunden sind. Das Modell erklärt auch, warum die Naturkraft Gravitation so schwach ist: Die geschlossenen Strings der Gravitonen bewegen sich außerhalb unserer Realität und berühren diese gewissermaßen nur leicht.

Dies ist ein Auszug aus dem eBook "Die faszinierende Welt von Relativität, Standardmodell und Stringtheorie" des Autors. Es ist bei Amazon (Mobi, DRM-frei) und Apple (iPad-Version mit Videos und Fotos) bestellbar.