Covid-19 und die wundersame Reproduktionszahl des RKI

Warum das Robert-Koch-Institut bei der Berechnung der Infektionsentwicklung danebenliegt. Und wie es an sozialmedizinischen Herausforderungen scheitert

Am 15. April 2020 beschloss die Konferenz von Bundeskanzlerin Angela Merkel und den Ministerpräsidentinnen und Ministerpräsidenten der Länder, den im März verhängten Lockdown auf unbestimmte Zeit zu verlängern. Am selben Tag erschien im Epidemiologischen Bulletin 17/2020 des Robert-Koch-Instituts (RKI), das im Vergleich zu den Situationsberichten weniger Beachtung findet, eine bemerkenswerte Grafik:

Diese Grafik sollte Schätzungen der effektiven Reproduktionszahl zeigen, deren fundamentale Bedeutung für Entscheidungen über die Fortgeltung des Lockdowns zuvor mehrfach betont worden war. RKI-Präsident Lothar Wieler, der fälschlich von einer "Reproduktionsrate" sprach und diese Größe mit der Basisreproduktionszahl verwechselte, hatte bereits am 3. April auf einer Pressekonferenz (hier das Video, Aussage bei 13:30 min.) mitgeteilt, dass die effektive Reproduktionszahl bei eins lag.

Die oben wiedergegebene Grafik zeigt klar, dass diese Zielgröße in der ersten Märzhälfte zu sinken begann und am 21. März, zwei Tage vor Verhängung des Lockdowns, unter eins sank und dort auch blieb. Gleichwohl wurde der Lockdown Mitte April beibehalten. Auf diesen inneren Widerspruch wies ich zwei Tage nach der Entscheidung in einem Interview hin, das binnen kurzer Zeit mehr als eine Million Mal aufgerufen wurde.

In diesem Betrag wird die effektive Reproduktionszahl näher beschrieben, da sie nach wie vor zu den Größen gehört, die einschneidende politische Maßnahmen beeinflussen, während über ihre Bedeutung weithin Unklarheit besteht.

Definition und Theorie

Um zu einer präzisen Definition zu gelangen, sei I_t die Gesamtzahl der Personen, die sich bis zum Tag t mit einem Pathogen infiziert haben. Des weiteren sei ΔI_t die Anzahl neuer Infektionen am Tag t, also der Unterschiedsbetrag I_t – I_t-1 und x die sogenannte Generationszeit, das ist die durchschnittliche Zeitspanne zwischen der Infektion einer Person und den Infektionen der von ihr angesteckten weiteren Personen.

Mit dieser Notation ist die effektive Reproduktionszahl am Tag t wie folgt definiert:

Für das Virus SARS-CoV-2, auf das sich dieser Artikel bezieht, schätzt das Robert Koch Institut (S. 13) eine Generationszeit von vier Tagen. Hat die effektive Reproduktionszahl mithin den Wert drei, dann löst jede Infektion am Tag t-4 drei weitere Infektionen am Tag t aus.

Ausgehend von einer hypothetischen Erstinfektion bezeichnet man R₀ als Basisreproduktionszahl. Diese muss offensichtlich größer als eins sein, damit sich eine Epidemie ausbreiten kann. Die anschließende Folge der effektiven Reproduktionszahlen fällt irgendwann unter eins, und die Infektionswelle läuft anschließend aus. Jede Grippewelle der Vergangenheit illustriert dies.

Eine alternative Maßzahl zur Beschreibung der Infektionsausbreitung ist der Wachstumsfaktor der täglichen Neuinfektionen:

Dieser Wachstumsfaktor misst Echtzeitwachstum (real-time growth), die effektive Reproduktionszahl hingegen misst Generationenwachstum (generational growth). Aus den beiden Definitionen folgt, dass zwischen dem Wachstumsfaktor und der effektiven Reproduktionszahl folgende Beziehung besteht:

Unterstellt man zur Illustration, dass der Wachstumsfaktor kurzfristig konstant bleibt, vereinfacht sich diese Formel zu R=G^x. Bei einer Generationszeit von vier Tagen erhält man die effektive Reproduktionszahl als vierte Potenz des Wachstumsfaktors. Auch für den Wachstumsfaktor gilt: Ein Wert größer eins bedeutet weitere Ausbreitung des Erregers, ein Wert kleiner eins indiziert ein allmähliches Abklingen der Infektionswelle.

Messung und Empirie

Die beiden Größen R_t und G_t lassen sich nicht direkt beobachten und messen, da man die Anzahl der täglichen Infektionen nicht kennt. Um die effektive Reproduktionszahl indirekt abzuschätzen, berechnet das RKI sogenannte R-Werte aus den Neuerkrankungen Ē_t⁴ des jeweiligen Tages t. Bei SARS-CoV-2 folgen Erkrankungen den Infektionen nach einer Inkubationszeit von durchschnittlich fünf Tagen. Die berichteten Erkrankungen schwanken allerdings so stark, dass ein wie in Formel 1 berechneter Ausdruck wenig aussagt. Daher berechnet das RKI einen sogenannten R4-Wert im Wege der Durchschnittsbildung nach folgender Formel, in der Ē_t⁴ die durchschnittliche Anzahl der Erkrankungen am Tag t und den drei vorhergehenden Tagen bezeichnet:

Selbst dieser Wert schwankt erheblich, was unter anderem darauf beruht, dass für die Wochenendtage weniger Erkrankungen berichtet werden. Da die Wochenenden abwechselnd im Zähler bzw. Nenner erscheinen, ergeben sich starke Fluktuationen.

Aus diesem Grund veröffentlicht das RKI zusätzlich einen "geglätteten" R7-Wert, indem die Durchschnitte nicht über vier Tage berechnet werden, sondern über eine Woche, es gilt also R7_t = Ē^_t7 / Ē⁷_t-4

Statt die effektive Reproduktionszahl und damit das Generationenwachstum abzuschätzen, kann man das Echtzeitwachstum der Infektionsausbreitung durch folgenden Ausdruck beschreiben:

In dieser letzten Formel bezeichnet Ē_t⁷ das arithmetische Mittel der Erkrankungen am Tag t und den sechs vorhergehenden Tagen. Diese Berechnung trägt den oben genannten Wochenendeffekten Rechnung. Im Unterschied zum geglätteten R7-Wert gehen nicht die letzten elf Tage in die Berechnung ein, sondern nur die letzten sieben Tage, was den Nachlauf der Maßzahl gegenüber der Erkrankungsdynamik verringert.

Messverzögerungen

Bei der Beurteilung politischer Eingriffe zur Epidemiebekämpfung unterstellen Medien und Politik oft, dass Maßnahmen sofort wirksam sind. Das ist aber aus zwei Gründen unmöglich. Erstens beeinflusst eine Maßnahme am Tag t höchstens die Infektionen ab dem Tag ihres Inkrafttretens, während die Erkrankungen erst nach Ablauf der Inkubationszeit von fünf Tagen sichtbar werden. Zweitens werden die obigen Maßzahlen R4, R7 und G7 aus in der Vergangenheit liegenden Tagen berechnet, was einen weiteren Verzug bedingt.

Die vorstehende Tabelle illustriert diese Wirkungsverzögerungen beispielhaft. Sie beginnt mit vier unterstellten Infektionen aus der Vergangenheit. Die effektive Reproduktionszahl startet mit dem Wert drei (Basisreproduktionszahl), weshalb an den Tagen eins bis vier je drei Neuinfektionen auftreten und an den folgenden vier Tagen jeweils neun Neuinfektionen.

Am achten Tag sinkt die effektive Reproduktionszahl auf eins, so dass die Anzahl der Neuinfektionen bei neun verharrt. Die in der dritten Spalte dargestellten Neuerkrankungen folgen den Neuinfektionen mit fünf Tagen Verzögerung, der Inkubationszeit.

Die drei alternativen Maßzahlen werden jeweils ausgehend vom Tag der ersten beobachtbaren Erkrankung berechnet. Entscheidend ist nun ihre Reaktion auf die Minderung der effektiven Reproduktionszahl. Den korrekten Wert Eins erreichen die Maßzahlen R4 und G7 offenbar am Tag sechzehn, also mit einer Verzögerung von acht Tagen, R7 erreicht ihn sogar erst am Tag neunzehn, also mit einer Verzögerung von elf Tagen.

Da der R7-Wert aus weiter in die Vergangenheit zurückreichenden Daten berechnet wird, ist er erst später verfügbar und reagiert träger als die beiden alternativen Maßzahlen.

Schlussfolgerungen

Die vorstehende Analyse ergibt zwei interessante Schlussfolgerungen.

Erstens zeigt die legendäre RKI-Grafik aus dem Epidemiologischen Bulletin keineswegs die effektive Reproduktionszahl, da sie die Inkubationszeit und den ermittlungstechnisch bedingten Verzug außer Acht lässt; die Grafik ist falsch beschriftet.

Bei Annahme einer Messverzögerung von acht Tagen, wie in der obigen Tabelle entwickelt, fiel die Infektionsdynamik keineswegs am 21. März unter eins, sondern schon am 13. März, also vor den Schulschließungen und auch vor Inkrafttreten des Verbots von Großveranstaltungen, das zwar am 9. März in Kraft trat, einem Montag, jedoch für die meisten Fußballspiele usw. erst am folgenden Wochenende Wirksamkeit entfaltete. Analog ist der allmähliche Rückgang der effektiven Reproduktionszahl, anders als die RKI-Grafik suggeriert, nicht auf den 11. März zu datieren, sondern auf einen früheren Zeitpunkt.

Zweitens erhebt sich die Frage, wozu empirische Abschätzungen der effektiven Reproduktionszahl eigentlich gut sind. Sozialmedizinisch, vor allem im Hinblick auf die Belastung der Krankenhäuser, kommt es auf das Echtzeitwachstum an, nicht auf das Generationswachstum, das außerdem von einem Parameter abhängt, der bei neuen Pathogenen nicht genau bekannt ist, nämlich der Generationszeit.

Der in Formel 5 gezeigte Wachstumsfaktor G7 reagiert rascher als R7, und er reagiert ebenso rasch wie R4, schwankt aber weniger stark. Insofern erscheint der Wachstumsfaktor als überlegene Maßzahl zur Abschätzung der Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Epidemie.