Das Nichts in der Mathematik

Obwohl wir heute bereits in der Schule mit der leeren Menge konfrontiert werden, war ihre Definition und ihr Platz in der Mathematik und Philosophie über Jahrhunderte umstritten

Es war im Jahr 1939, am Vorabend des zweiten Weltkrieges, als ein mathematischer Begriff so etwas wie die Volljährigkeit und seinen endgültigen Namen erlangte: Es handelt sich um die leere Menge, dargestellt mit Ø, Buchstabe des dänischen und norwegischen Alphabets. Das neue Symbol wurde mit einem Schlag zur Standardnotation in der Mengenlehre.

Der Vorschlag dazu kam von André Weil (1906-1998), Wissenschaftler aus Straßburg und einem der wichtigsten Mitglieder der Bourbaki-Gruppe, einer Verbindung von gleichgesinnten französischen Mathematikern, die die Aufgabe auf sich nahm, die gesamte Mathematik neu und unerbittlich streng zu formulieren. Gleich im ersten Buch über Analysis, bei der Einführung der Mengenlehre1, wird Ø als der leere Anteil einer Menge definiert, um die Mengennotation "ein für allemal festzulegen".2 Generationen von Studenten an den Universitäten haben seitdem auf verlorenen Posten einen schleichenden Kampf gegen die Trockenheit und Strenge der allzu vielen Bourbaki-Bände geführt.

Im 21. Jahrhundert mutet das alles wie ferne Vergangenheit. Und dennoch: Obwohl wir heute bereits in der Schule mit der leeren Menge konfrontiert werden, war ihre Definition und ihr Platz in der Mathematik und Philosophie über Jahrhunderte umstritten. Nichts ist komplizierter als das Nichts, zumindest aus der Sicht der Philosophie.

Wenn wir über Zahlen sprechen, brauchen wir eine Anfangszahl wie die 1. Durch sukzessive Erhöhung um eine Einheit schreiten wir zu 2, 3, 4 usw. fort. Die Anfangszahl kann beliebig sein, man hätte auch z.B. mit Null anfangen können. Aber die Null als Symbol stand nicht allen Kulturen zur Verfügung. In der römischen Notation für Zahlen gibt es kein Zeichen dafür und so nummerieren wir die Jahre seit Christi Geburt ab dem Jahr Eins. Erst bei der Verbreitung der positionellen Systeme gab es die Notwendigkeit, auch mit der Null symbolisch zu operieren.

Aber zurück zur Mengenlehre. Wenn Mengen von Objekten behandelt werden, gibt es zwei grundsätzliche Wege, um sie zu bilden. Es gibt den prädikativen Weg, wo wir einfach sprachlich festlegen, welche Elemente eine Menge enthält (wie z.B., wenn wir sagen, "sei T die Menge aller Telepolis-Leser"), oder den konstruktiven Weg, bei dem neue Mengen aus gegebenen Mengen hergestellt werden. Historisch gesehen wurde zuerst der prädikative Weg eingeschlagen und im neunzehnten Jahrhundert zur Reife gebracht - aber dann geschah etwas Furchtbares: Das Russell-Paradoxon betrat die mathematische Bühne.

Im Paradoxon wird die Menge M aller Mengen, die sich selber nicht enthalten, erforscht. Die Definition von M wäre, sprachlich gesehen, eine völlig legitime Sache. Dann wird aber gefragt, ob diese Menge M auch Element von sich selbst ist. Wäre es so, hätten wir einen Widerspruch, da M als Element von M sich selbst nicht enthalten darf. Ist aber M nicht Element von sich selbst, erfüllt es die Bedingung, um Element von M zu sein - wieder ein Widerspruch und damit eine Inkonsistenz in der Wissenschaft der abstrakten Strukturen.

Der britische Mathematiker und Philosoph Bertrand Russell hat mit seinem Paradoxon 1901 der heute sogenannten "naiven Mengenlehre" den Todesstoß versetzt. Der deutsche Theoretiker Ernest Zermelo hatte zwar ein Jahr zuvor die Inkonsistenz entdeckt, und Georg Cantor in Halle noch viel früher, aber beide waren umsichtig genug, den Mund zu halten, bis eine Erlösung für das System gefunden werden konnte.

Das Problem ist hier eigentlich, dass wir mit der Sprache viel zu viel Terrain abdecken und z.B. über Mengen reden können, die sich selbst verspeisen, wie Ouroboros, die ägyptische Schlange, die sich am Schwanz beißt. Es ist auch wie beim Paradoxon vom Barbier, der alle Menschen im Dorf, die sich selbst die Haare nicht schneiden, die Haare schneidet. Der arme Barbier weiß dann nicht, ob er sich selbst die Haare schneiden darf oder nicht.

Aber niemand war von Russells Entdeckung getrübter als der Vater der deutschen Logik, Gottlob Frege, der gerade sein Buch "Die Grundgesetze der Arithmetik" für die zweite Ausgabe von 1903 vorbereitete, als Russell ihm vom Widerspruch in seinem Buch berichtete. Frege schrieb an Russell:

Ihre Entdeckung des Widerspruchs hat mich aufs Höchste überrascht und, fast möchte ich sagen, bestürzt, weil dadurch der Grund, auf dem ich die Arithmetik ... aufzubauen dachte, ins Wanken gerät. (...) Ich muß noch weiter über die Sache nachdenken. Sie ist umso ernster, als mit dem Wegfall meines Gesetzes V nicht nur die Grundlage meiner Arithmetik, sondern die einzig mögliche Grundlage der Arithmetik überhaupt zu versinken scheint.

Frege an Russell, 22. 6. 1902.

George Boole und die erste leere Menge

Obwohl also die Mathematiker über Jahrhunderte hinweg implizit mit Mengen von Objekten operiert haben, gab es dafür bis tief ins neunzehnte Jahrhundert keine echte theoretische Formalisierung. Frege selbst war in gewissem Sinne nur ein Vordenker, da er die logische Sprache schuf, mit der man ab dann mathematisch sauber arbeiten konnte (die sogenannte Prädikatenlogik).

Gegenspieler von Frege war der britische Mathematiker George Boole, den wir heute als eine Art Vorreiter des Computers wegen seiner booleschen Algebra verstehen. Er war anscheinend der Erste, der der leeren Menge ein explizites Symbol zugewiesen hat. Dies geschah in seinem Buch "Mathematical Analysis of Logic" von 1847.

Der Schritt zu einem expliziten Symbol für die leere Menge ist keineswegs trivial. Wir können das Nichts rein sprachlich immer wieder anführen, aber wenn wir mit Mengen anfangen zu operieren, möchten wir auch Mengen als Resultate haben. Wenn wir zwei Mengen vereinigen, wie {1,2} mit {3,4}, erhalten wir die Menge der Zahlen von 1 bis 4. Wenn wir jetzt aber beide Mengen "schneiden", d.h. auf die gemeinsamen Elemente schauen, gibt es keine und das Resultat ist "leer". Wir könnten dann sprachlich weiter machen, aber nicht symbolisch. Viel bequemer als zu sagen "A und B haben keine gemeinsamen Elemente" ist deswegen zu schreiben "A∩B=∅" (d.h. der Schnitt von A und B ist die leere Menge) und wir können dann algebraisch weiter arbeiten.

Es ist dann so, dass Boole für die leere Menge das Symbol 0 verwendete. Diese Doppelnutzung des Symbols für die Zahl Null war für ihn bequem, da Boole seine logischen Operationen mit Hilfe der Wahrheitswerten 0 und 1 entfaltete. Viele andere Mathematiker übernahmen danach Booles Notation, d.h. in etwa fast die heutige, aber ohne den Strich durch den Vokal O.

Zu dieser ganzen Grundlagenforschung gesellte sich ein italienischer Mathematiker, Giuseppe Peano, der die Arithmetik ganz ohne Worte entfalten wollte. Statt langer Sätze wollte er nur Ketten von Symbolen verwenden, um den ganzen Formalismus frei von intuitiven, nicht überprüfbaren sprachlichen Vorurteilen zu halten. Peanos Notation für die leere Menge war überaus originell und es ist eigentlich schade, dass wir sie heute nicht mehr verwenden: Georg Cantor folgend, der den Großbuchstaben O (statt die Null wie Boole) als Symbol für die leere Menge verwendete, entschied sich Peano 1888 für einen schwarzen Kreis als Darstellung der Universalmenge (Alles) und einen leeren Kreis als Vertreter der leeren Menge bzw. das Nichts (siehe Abb.)

Es war wahrscheinlich schwierig, diese Symbole bei den eigensinnigen Setzern durchzusetzen und so wechselte Peano nur ein Jahr später auf ein invertiertes Lambda (großgeschrieben) als Symbol für die leere Menge. Peano, wie man sieht, hat viel über die richtige symbolische Sprache für die Mathematik nachgedacht - aber auch über die Sprache für Menschen. Er erfand nebenbei "Interlingua", ein vereinfachtes Latein ohne Deklinationen, die als Universalsprache die grenzenlose Kommunikation ermöglichen sollte.

In Großbritannien übernahmen Whitehead und Russell, die Peanos Programm fortsetzten, Peanos Symbol für die leere Menge in ihrem grandiosem Werk "Principia Mathematica", das vielleicht noch kein Mathematiker jemals wirklich vom Anfang bis zum Ende gelesen hat. So undurchdringlich und schwerfällig ist die ganze Abhandlung. Der Leser bewegt sich im Schneckentempo durch eine Notationswüste, bis nach Hunderten von Seiten 1+1=2 bewiesen wird.

Zermelo und die axiomatische Mengenleere

Der Berliner Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (1871-1953) hat über Variationsrechnung promoviert und war danach Assistent von keinem geringeren als Max Planck. Von der Physik ist er, unter dem Einfluss von David Hilbert, auf die Logik umgesattelt. In Göttingen versuchte Zermelo zu beweisen, dass Mengen eine sogenannte "Wohlordnung" zugewiesen werden könne, brauchte dafür aber eine Mengenlehre frei von Widersprüchen und streng axiomatisiert. Eine erste Fassung seiner Axiome veröffentlichte er 1908, aber nur durch die Hilfe von anderen Mathematikern (vor allem Abraham Fraenkel) gelang es ihm letzten Endes ein konsistentes axiomatisches Gebäude zu errichten.

Der wesentliche Unterschied in dem Zugang von Zermelo war, Mengen aus anderen Mengen nur durch erlaubte Operationen herzustellen. Zermelo verwendete wie Boole die Null als Zeichen für die leere Menge, und mit dieser Konvention kann man z.B. in Zermelos System eine neue Menge {0} konstruieren, d.h. eine Menge, die nur die leere Menge enthält. So erhalten wir eine Menge mit einem Element.

Man kann dann aus zwei Mengen eine neue Menge mit zwei Elementen erstellen, wie z.B. {0,{0}}. Durch solche Operationen, wie das Einsetzen als Element in eine Menge, oder durch Kombinationen von Paaren, Vereinigung und Schnitt von Mengen sowie zusätzliche Regeln kann man immer wieder neue Mengen anfertigen. Das ist der konstruktive Zugang zur Mengenlehre. Man kann damit ein Modell für die natürlichen Zahlen (d.h. 1,2,3, usw.) aufstellen und z.B. Peanos' Formalismus für die Arithmetik beweisen. Das ist dann des Logikers Himmel: Die ganze Mathematik wird auf Mengenlehre und Logik reduziert, wie es Gottlob Frege anstrebte.

Es ist eigenartig: In der Zermelo-Fraenkel-Theorie braucht man keine Individuen einzuführen. Man redet z.B. nicht über die Menge aller Buchstaben. Stattdessen redet man ausschließlich über Mengen und Mengen von Mengen, die über die erlaubten Operationen aufgebaut werden. Man startet mit der leeren Menge, die keine Elemente enthält. Da die Buchstaben a, b, c, usw. auch keine Elemente enthalten, sind sie eigentlich äquivalent zu der leeren Menge (!). Mit anderen Worten, außer den Operationen, um Mengen aus Mengen zu bauen, brauchen wir als Anker nur die leere Menge 0.

Das Diskursuniversum fängt mit einem einzigen Objekt an, und zwar mit dieser leeren Menge (in anderen Varianten der Theorie wird eine beliebige Menge genommen und aus dieser wird die leere Menge erzeugt). Neue Individuen können dann mit neu hergestellten Mengen identifiziert werden. Ein "a" könnte ich mit {0} identifizieren, ein "b" mit {0,{0}}, usw. Es ist wie im Computer, ich kann beliebige Zeichen durch eine Kette von Nullen und Einsen darstellen und so brauche ich nur das Binärsystem tief drin im Rechner.

Wirklich interessant ist, dass, um die Operationen der Mengenbildung anzuwenden, wir mit einem einzigen allererstes Objekt starten können. Und in der Zermelo-Fraenkel Theorie kann dieses Objekt das Nichts sein, die leere Menge. Aus dem Nichts als einziger handfester Ziegel wird das ganze Theoriegebäude errichtet. Die anderen Regeln stellen nur den "Mörtel" dar, um alle Teile unter- und miteinander zu befestigen. Russells-Monsterkonstrukt kann jetzt nicht mehr im System auftreten, da die von ihm vorgeschlagene ouroborosische Menge nicht mehr durch die gestatteten Regeln konstruierbar ist und das Ganze bleibt, zumindest an der Stelle, konsistent.

Die Überwindung der Angst vor dem Nichts

Wenn man die glanzvolle Geschichte der leeren Menge verfolgt, ist es wirklich seltsam festzustellen, wie am Anfang der Entwicklung Mathematiker und Philosophen allesamt Angst vor diesem Nichts hatten und sich dann am Ende das Nichts als Anker für die Bildung von immer neuen mathematischen Objekten verdient gemacht hat.

Jeder kennt die Ausführungen von Parmenides aus Elea, der Änderungen des Seienden ablehnte, da das Seiende sei und das Nichts nicht sei. Veränderung würde bedeuten, dass das Seiende in etwas übergeht, was es vorher nicht war. Das wäre aber ein Widerspruch. Sein Schüler Zeno versuchte mit ähnlichen Argumenten und den sogenannten Zeno-Aporien die Unmöglichkeit von Bewegung zu beweisen, was der scharfsinnige Diogenes von Sinope einfach durch stummes Auf- und Abgehen widerlegte.

Auch viele physikalische Erscheinungen wurden früher durch horror vacui erklärt, d.h. die Auffassung, dass die Natur Leerraum hervorzubringen nicht erlaube. Wasser stiege deswegen in einem Rohr, von dem Luft ausgepumpt wurde, um das Vakuum zu verhindern. In diesem Jahrhundert haben sich die Physiker aber längst mit dem Nichts arrangiert und ihm eine neue Bedeutung zugewiesen. Es stellt sich heraus, dass das Vakuum gar nicht so leer ist. Es wimmelt dort von virtuellen Teilchen und Feldern, so dass wir heute Ursprung und Entwicklung des Universums nicht verstehen werden, ohne ein besseres Verständnis des Vakuums zu erlangen.

Kosmologie kann man heutzutage nicht betreiben, ohne auf das unendlich Kleine zu achten. Es ist auch gerade die Beschreibung des gar nicht so leeren Vakuums, wo Gravitationsphysik und Quantenmechanik sich berühren und vielleicht die besten Chancen haben, in eine einheitliche Theorie überzugehen.

Auch manche Philosophen denken heute anders über das Nichts. Sartre hat in der Philosophie, in seinem Existentialismusentwurf, eine ähnliche Kehrtwende vollzogen wie Zermelo in der Mathematik. Der Mensch, als wissendes Subjekt, kann in die Welt einfach bedenkenlos aufgehen, wie ein Fisch im Wasser, oder er kann die Welt umformen. Der Mensch kann also das, was nicht ist, in Realität verwandeln. Mit der Eloquenz meines Philosophielehrers Bolivar Echeverria ausgedrückt: Was Sartre uns sagt, ist, dass der Mensch wie "eine Blase aus Nichts", der Welt entgegentritt und diese neu gestalten kann. So wird das Nichts zur Grundlage der Freiheit.