Die großen Zahlen der Physik

Der exzentrische Engländer Paul Dirac gilt als einer der genialsten Physiker aller Zeiten. Ein wichtiges Vermächtnis von ihm wird bis heute grob unterschätzt

Dirac wurde kurz nach seiner Dissertation mit nur 24 Jahren weltbekannt, als er zeigen konnte, dass die beiden Formulierungen der Quantenmechanik von Werner Heisenberg und Erwin Schrödinger, um die sich beide heftig stritten, äquivalent waren. Nur zwei Jahre später entwickelte er die nach ihm benannte Dirac-Gleichung, die Einsteins Relativitätstheorie in die Quantenmechanik mit einbezog und mit dem Spin, einer rätselhaften Eigenschaft von Elementarteilchen, in Verbindung gebracht wird. 1933 erhielt er zusammen mit Schrödinger den Nobelpreis.

Legendär war Diracs Schweigsamkeit. So schreibt er zum Beispiel über die langen Diskussionen, in denen Einstein, Heisenberg, Pauli, Schrödinger, Bohr und er selbst in den 1920er Jahren um die richtige Interpretation der Quantenmechanik rangen, folgendes:

Ich bewunderte Niels Bohr sehr. Wir hatten lange Gespräche miteinander, lange Gespräche, in denen praktisch nur Bohr sprach.

Paul Dirac

Einmal erläuterten ihm zwei junge Physiker ihre neue Theorie und warteten gespannt auf eine Reaktion. Dirac schwieg und schien darüber nachzudenken. Aber nach einer unerträglich langen Pause sagte er nur: "Wo ist das Postamt?" Die beiden boten ihm sogleich beflissen an, sie könnten ihn dorthin begleiten, wenn er vielleicht auf dem Weg etwas erläutere. "Ich kann nicht zwei Dinge gleichzeitig tun", antwortete er trocken.

Der stille Zahlenversteher

Dirac interessierte sich ausschließlich für fundamentale Fragen, und besonders hatten es ihm unerklärte Zahlen in der Physik angetan, wie etwa die sogenannte Feinstrukturkonstante, die den Wert 1/137.035999... besitzt. Bis heute ist es niemand gelungen, diese Zahl zu berechnen, obwohl man sie auf viele Nachkommastellen messen kann. Einem Physiker, der ihm eine neue Idee zur Quantenelektrodynamik vorstellen wollte, unterbrach Dirac barsch: Können Sie damit die Feinstrukturkonstante berechnen? Nein? Kommen Sie wieder, wenn Sie soweit sind!

Offenbar hatte er hier eine ähnliche Meinung wie Einstein (Einstein und die Philosophin), und es ist bekannt, dass Dirac jahrelang über das Massenverhältnis von Proton und Elektron nachdachte, ebenfalls ein unerklärter Messwert 1836,15... Sein Biograph Helge Kragh berichtet1, dass er dafür sogar alles aufzugeben bereit war, wofür er berühmt geworden war. Das moderne Standardmodell der Teilchenphysik beantwortet dieses Rätsel der Masse übrigens so: Das Proton ist deshalb 1836 mal schwerer als das Elektron, weil seine Bestandteile 1836 mal stärker an das Higgs-Feld koppeln. Es ist schwer vorstellbar, dass Dirac von dieser "Erklärung" begeistert gewesen wäre.

Diracs beste Idee

Sicher hat sich Dirac schon in den 1920er Jahren über eine andere Zahl den Kopf zerbrochen: Das Massenverhältnis von Proton und Elektron, die zusammen ein Wasserstoffatom formen. Die Idee, dass Atome winzige Sonnensysteme sein könnten, in denen Elektronen wie Planeten kreisen, faszinierte die Physiker um die vorige Jahrhundertwende außerordentlich - hatte doch das elektrische Coulomb-Gesetz eine ganz ähnliche Struktur wie das Newtonsche Gravitationsgesetz (beide Kräfte nehmen mit dem Quadrat des Abstands ab).

Berechnet man allerdings das Verhältnis der elektrischen und gravitativen Anziehungskräfte im Wasserstoffatom, so ergibt sich eine riesige Zahl mit fast vierzig Nullen, 2,3∙10³⁹. So unvorstellbar groß diese Zahl ist, so entfernt schien die Möglichkeit, sie jemals berechnen zu können. Selbst Dirac gab irgendwann die Hoffnung auf, sie je mit sinnvoller Mathematik darstellen zu können. Aber er machte eine bahnbrechende Beobachtung - die Zahl kam an anderer Stelle in der Natur vor, nämlich als das Größenverhältnis von Universum und Proton!

Kurz zuvor waren durch die Entdeckungen von Edwin Hubble die ersten Abschätzungen der Größe des sichtbaren Universums verfügbar, und für Dirac war diese kosmologischen Messungen eine Zäsur.

1937 formulierte in einem Artikel in Nature seine Hypothese der großen Zahlen: Wenn man die Natur verstehen wolle, sei es höchstwahrscheinlich, dass die beiden Größenverhältnisse von 10⁴⁰ etwas miteinander zu tun hatten. Tatsächlich ist der aktuelle Messwert für das Universum etwas größer (10⁴¹), dies ändert jedoch nichts daran, dass es reine Zahlenmesswerte in vergleichbarer Größenordnung in der Physik nicht gibt. Dirac war überzeugt2:

Wir haben Grund zur Vermutung, dass diese Koinzidenz auf einer tiefen Verbindung der Natur zwischen Kosmologie und Atomphysik beruht.

Paul Dirac

Nur Zufall?

Viele Physiker zucken hier dennoch mit den Achseln, weil sie einer zahlenmäßigen Übereinstimmung, die auch zufällig sein könnte, nicht viel abgewinnen können. Weniger bekannt ist allerdings, dass Dirac noch eine weitere Koinzidenz entdeckte: Die Anzahl der Elementarteilchen bzw. Wasserstoffatome im Universum ist ca. 10⁸⁰, das Quadrat jener ominösen Zahl 10⁴⁰! Zwei solche merkwürdigen Koinzidenzen machen es der Behauptung, dass es sich nur um Zufall handeln kann, doch wesentlich schwerer.

Als Seitenthema sei hier angemerkt, dass einige Revolutionen der Physik durch derartige Beobachtungen losgetreten wurden, so zum Beispiel die Spektrallinien der Wasserstoffatome, in denen Johann Jakob Balmer 1885 einen mathematischen Zusammenhang fand oder auch die elektrischen und magnetischen Konstanten ε0 μ0, deren Produkt "zufällig" mit der Lichtgeschwindigkeit zusammenhing, wie Wilhelm Weber 1856 herausfand - eine Schlüsselerkenntnis, die zum Nachweis elektromagnetischer Wellen führte.

Diracs Beobachtung kann sogar als eine quantitative Formulierung des Machschen Prinzips angesehen werden. Der Wiener Physiker und Philosoph, den Einstein außerordentlich schätze, hatte schon 1883 vermutet, dass die Stärke der Gravitation mit der Größe des Universums zusammenhängen könnte. Dirac hatte dies erstmals in Zahlen ausgedrückt, obwohl seine Hypothese noch weiter geht.

Trotzdem werden Diracs Überlegungen heute oft als "Numerologie" diffamiert, ein Totschlagargument, das jede sachliche Diskussion von Wahrscheinlichkeiten unterbindet. Besonders gern wird es von Theoretikern gebraucht, die selbst noch nie eine quantitative Vorhersage entwickelt haben, wie ihre Ideen zu testen seien.

Gewagte Vorhersage

In einem Punkt war Dirac allerdings nicht ganz schuldlos, dass seine Beobachtung nicht die verdiente Anerkennung fand. Dirac folgerte aus seinen Überlegungen, dass die Gravitationskonstante G im Laufe der kosmischen Evolution abnehmen sollte, eine Vorhersage, die bisher nicht bestätigt wurde - eine Reihe von Experimente sprechen sogar explizit dagegen.3

Setzt man sich jedoch genauer mit Diracs Idee auseinander, so wird klar, dass die eine zeitliche Änderung von G noch nicht ganz zwingend folgt, selbst wenn der von ihm vermutete Zusammenhang besteht.4 Es könnte also sein, dass Dirac im Prinzip Recht hatte, sich mit seiner Vorhersage jedoch etwas zu weit aus dem Fenster gelehnt hat.

Die Erleichterung, mit der die scheinbare Widerlegung von Diracs Idee aufgenommen wird, ist jedoch nicht ganz unverdächtig. Denn wenn der Zusammenhang tatsächlich besteht, dann wäre das derzeitige Modell des Universums komplett falsch - nach herkömmlicher Anschauung sollte das Universum auch in einem tausendfachen Alter etwa die gleiche Zahl von Teilchen enthalten, nicht die millionenfache, wie es Diracs Hypothese vermuten ließe. Der Kosmologie kommt die Beobachtung der Unveränderlichkeit der Gravitationskonstante also außerordentlich gelegen.

Der Zusammenhang, den Dirac zur Teilchenzahl aufstellte, läuft zudem dem Paradigma der modernen Teilchenphysik diametral entgegen. Nach Dirac hätte es einen Sinn, dass die beobachteten Teilchenmassen gerade die Werte besitzen, die man misst, während es sich nach dem Standardmodell der Teilchenphysik um bedeutungslose Parameter handelt. Es nicht ganz klar, worin hier der Erkenntniswert liegen soll. Auch Einstein war der Meinung, dass man hier etwas noch nicht verstanden hatte, wie aus den Bemerkungen hervorgeht, die Alexander Moszkowski in seinem Buch "Einblicke in Einsteins Gedankenwelt" dokumentiert hat:

Die wirklichen Gesetze sind also viel einschränkender, als die uns bekannten. Zum Beispiel würde es nicht gegen die bisher bekannten Gesetze verstoßen, wenn wir Elektronen von beliebiger Größe vorfänden. Die Natur aber realisiert nur Elektronen von ganz bestimmter Größe.

Albert Einstein

Einstein und Dirac stimmen hier überein, dass die Masse der Elementarteilchen etwas zu bedeuten hat - aber sie starben mit ihrer Ansicht als Außenseiter.

Quantengravitation - mit Diracs Zahl oder lieber gar nicht

Was man auch immer von Diracs Vermutung halten will, dass das Kraftverhältnis von Elektrizität und Gravitation mit dem Universum zusammenhängt oder nicht, es bleibt hinsichtlich einer entscheidenden Frage der Physik die einzig brauchbare Idee. Denn in dem Kraftverhältnis von 10⁴⁰ spiegelt sich das Grundproblem der modernen Physik schlechthin wieder: Die Gravitation in Form der allgemeinen Relativitätstheorie mit der Quantentheorie zu vereinigen, die ihre besten Tests eben an jenem Wasserstoffatom besteht. Theoretische Physik heißt verstehen, und wenn je ein Fortschritt dabei erreicht werden soll, dann nur mit der Berechnung dieser Zahl, die uns die Natur nun mal mitteilt.

Es wurden von theoretischen Physikern schon ganze Regalmeter von Büchern über "Quantengravitation" geschrieben - aber ohne die Erklärung der Zahl 10⁴⁰ muss jede solche Theorie im Sumpf der Unverbindlichkeit steckenbleiben. Dirac würde höchstwahrscheinlich zu all diesen Versuchen sagen: Kommen Sie wieder, wenn Sie diese Zahl berechnet haben!